O Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma
\text { (*) } y=\left(x-x_{0}\right)^{r} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r}, \quad \text { supondo } a_{0} \neq 0 .
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
A relação de recorrência para os a_{n} (se possível);

Passo 1

O enunciado explica o método de Frobenius para uma equação diferencial ordinária (EDO) com ponto singular regular e pede que apliquemos a forma
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n + r},\quad a_0\neq 0
para obter a relação de recorrência entre os coeficientes a_n. Para isso, precisaríamos da EDO explícita (com seus coeficientes em termos de x) centrada em x_0.

Passo 2

Como o enunciado não fornece a forma específica da EDO (isto é, não diz quais são os termos P(x), Q(x), etc., na equação padrão) não há como:
  1. Substituir a série na EDO;
  2. Identificar o menor expoente para obter a equação indicial;
  3. Agrupar potências iguais de (x-x_0) e extrair a recorrência para os a_n.

Resposta

Não é possível determinar a relação de recorrência sem que a equação diferencial ordinária seja explicitada, pois é imprescindível conhecer seus coeficientes em função de x para seguir os passos do método de Frobenius.

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