Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em série de potências a equação
com as condições iniciais
e
.
O método é: assumir
O método é: assumir
calcular
e
, inserir na EDO, igualar coeficientes de
e achar uma relação de recorrência entre os
. Em seguida, usar
e
para determinar todos os
e reconhecer a série resultante.
Passo 2
Supondo
temos
Somando tudo e igualando a zero o coeficiente de
dá
Para
, o coeficiente de
é
ou seja
Passo 3
Aplicando as condições iniciais
e
:
. Para
na recorrência surge
Calculando
vemos o padrão
isto é, para todo
Passo 4
Logo a série de potências fica
Mas
portanto
Passo 5
Concluímos que a solução que satisfaz
,
é
Como essa expressão envolve
, a série de potências converge em todo
.
Resposta
válida para todo