Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(1-x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0, \quad y(0)=-3, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em série de potências a equação
(1 - x)\,y'' + x\,y' - y = 0,
com as condições iniciais y(0) = -3 e y'(0)=2.
O método é: assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
calcular y' e y'', inserir na EDO, igualar coeficientes de x^n e achar uma relação de recorrência entre os a_n. Em seguida, usar a_0 e a_1 para determinar todos os a_n e reconhecer a série resultante.

Passo 2

Supondo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \quad y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n,
temos
(1-x)y'' =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n \;-\;\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)n\,a_{n+1}\,x^n,
x\,y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,x^n, \quad -y=-\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
Somando tudo e igualando a zero o coeficiente de x^0
2\,a_2 - a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = \frac{a_0}{2}.
Para n\ge1, o coeficiente de x^n é
(n+2)(n+1)a_{n+2} \;-\;n(n+1)a_{n+1}\;+\;(n-1)a_n \;=\;0,
ou seja
a_{n+2} =\frac{n(n+1)\,a_{n+1}\;-\;(n-1)\,a_n}{(n+2)(n+1)}.

Passo 3

Aplicando as condições iniciais a_0=y(0)=-3 e a_1=y'(0)=2:
a_2=a_0/2=-3/2. Para n=1 na recorrência surge
6\,a_3-2\,a_2+0\cdot a_1=0 \;\Longrightarrow\; a_3=\frac{a_2}{3}=-\frac{1}{2}.
Calculando a_4,a_5,a_6,\dots vemos o padrão
a_2=-\frac{3}{2!},\quad a_3=-\frac{3}{3!},\quad a_4=-\frac{3}{4!},\quad a_5=-\frac{3}{5!},\;\dots
isto é, para todo n\ge2
a_n=-\frac{3}{n!}.

Passo 4

Logo a série de potências fica
y(x) =\sum_{n=0}^\infty a_nx^n =a_0 + a_1x + \sum_{n=2}^\infty\Bigl(-\tfrac{3}{n!}\Bigr)x^n =-3 + 2x \;-\;3\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}.
Mas
\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!} =\;e^x \;-\;1 \;-\;x,
portanto
y(x) =-3 +2x \;-\;3\bigl(e^x-1-x\bigr) =-3e^x+5x.

Passo 5

Concluímos que a solução que satisfaz y(0)=-3, y'(0)=2 é
y(x)=5x-3e^x.
Como essa expressão envolve e^x, a série de potências converge em todo \mathbb{R}.

Resposta

y(x)=5x-3e^x,
válida para todo x\in(-\infty,\infty).

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