O Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de
para os quais a EDO tem solução na forma de série em (*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções
e
são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os
(se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por
e
se estas são linearmente independes, assim a solução geral é
. Com estas informações resolva as equações diferenciais:
i) Os valores de
ii) A relação de recorrência para os
ii) O intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o método de Frobenius em torno de
para a equação
Informações e perguntas que precisamos responder:
- Determinar os valores de
(raízes indiciais) para os quais existe solução da forma com . - Obter a relação de recorrência entre os coeficientes
. - Escrever as séries soluções (pelo menos os primeiros termos) correspondentes a cada raiz indicial e, portanto, a solução geral.
- Determinar o intervalo (ou raio) de convergência das séries obtidas.
Passo 2
Vamos assumir a solução de Frobenius centrada em
:
Calculemos as derivadas (cada passo com explicação):
- A primeira derivada resulta de diferenciar termo a termo: cada termo
gera . Então
- A segunda derivada deriva mais uma vez: cada termo dá
. Logo
Estas fórmulas são diretas da regra da potência aplicada a séries.
Passo 3
Substituímos
na equação dada. Multiplicando pelos fatores que aparecem:
Somando tudo e organizando os termos em potências de
obtemos
Para combinar a segunda soma com a primeira alinhe os expoentes: na segunda soma faça
e reindexe:
Então a condição de anulação para os coeficientes de cada potência
é
onde, para
e
, o termo
não existe e a equação reduz à parte que multiplicava
ou
.
Passo 4
A equação indicial vem do menor expoente, que é
. Como
, impõe-se
Simplifique a expressão:
Resolvendo a quadrática:
Portanto as raízes indiciais são
Como
não é inteiro, teremos duas soluções de Frobenius linearmente independentes, uma para cada raiz.
Passo 5
Vamos escrever de forma clara a relação de recorrência geral. Denotando
a relação encontrada é, para
,
Além disso, os coeficientes para
e
dão condições especiais:
- Para
obtivemos a equação indicial que deu as raízes indiciais (assumimos e ). - Para
obtemos . Para as raízes que encontramos (veremos explicitamente), de modo que necessariamente
para ambas as raízes. Conclusão prática: as séries terão apenas termos com potências
(apenas paridade par dos índices), porque o recorrente liga
a
e
.
Passo 6
Agora construímos a série associada à raiz
. Primeiro verifiquemos
:
portanto
. Tomando
livre (normalizamos depois), usamos a recorrência para gerar termos pares:
- Para
:
logo
- Para
:
Assim os primeiros termos (tomando
para normalizar) da série solução correspondente a
são
Obs.: a recorrência permite obter todos os
em termos de
por
Não é necessário escrever fórmula fechada completa para a prova; os primeiros termos indicam a construção.
Passo 7
Construímos agora a série para
. Verifiquemos
:
logo
também aqui. Tomando
livre e calculando alguns termos:
- Para
:
- Para
:
Tomando
para normalizar, os primeiros termos da solução associada a
são
Novamente, os coeficientes pares
podem ser obtidos recursivamente por
Passo 8
Independência linear e solução geral: como
não é inteiro, as duas séries de Frobenius são linearmente independentes. Logo a solução geral da EDO é
ou explicitamente (com séries normalizadas
):
Passo 9
Raio de convergência: a equação, escrita na forma padrão
, tem
As únicas singularidades de
e
no plano complexo são em
(ponto singular regular) e possivelmente em infinito; não há singularidade finita além de
. Assim as séries de Frobenius centradas em
convergem até o ponto singular finito mais próximo diferente de
— como não existe nenhum, o raio de convergência é infinito: as séries convergem para todo
(na verdade para todo
). Uma alternativa de justificativa é olhar a recorrência assintótica
, o que leva a coeficientes com decaimento tipo
e, portanto, à convergência para todo
.
Resposta
Relação de recorrência:\quad
Soluções (normalizadas
Solução geral:\quad
\n
Raio de convergência:\quad série converge para todo (raio infinito).
Raio de convergência:\quad série converge para todo