1. Mostre que y_{1}(x)=x^{-1}, x>0 é solução da equação diferencial x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0. Encontre uma função v(x) tal que y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'+y=0,
definida para x>0, e diz que y_{1}(x)=x^{-1} é uma função candidata. O que pede o problema:
  1. Mostrar que \,y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação dada.
  2. Encontrar uma função v(x) tal que \,y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x) seja também solução da equação.
  3. Provar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções (ou seja, são linearmente independentes em x>0).
As informações relevantes: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e a solução proposta \,y_{1}(x)=x^{-1} para x>0. A seguir vamos verificar a solução, usar o método de redução de ordem para achar v, e provar independência usando o wronskiano.

Passo 2

Verificação direta de que \,y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas de y_{1}.
A derivada primeira é
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}.
A derivada segunda é
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right)=2x^{-3}.
Agora substituímos \,y_{1},y_{1}',y_{1}'' na equação diferencial:
x^{2}\cdot y_{1}''+3x\cdot y_{1}'+y_{1} = x^{2}\cdot(2x^{-3}) + 3x\cdot(-x^{-2}) + x^{-1}.
Calcule termo a termo:
x^{2}\cdot(2x^{-3}) = 2x^{-1}, \qquad 3x\cdot(-x^{-2}) = -3x^{-1}, \qquad x^{-1}=x^{-1}.
Somando:
2x^{-1}-3x^{-1}+x^{-1}=0.
Portanto \,y_{1}(x)=x^{-1} realmente satisfaz a equação para x>0.

Passo 3

Apresentação do método para achar a segunda solução: redução de ordem. Ideia intuitiva (passo a passo): se conhecemos uma solução não nula y_{1} de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos buscar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função desconhecida. Substituindo y_{2} na equação, obtemos uma equação para v que tem ordem reduzida (normalmente reduzimos a segunda ordem para uma primeira ordem numa nova variável). Vou executar isso calmamente.

Passo 4

Calcular y_{2}' e y_{2}'' em termos de v e de y_{1}. Com y_{2}=v y_{1} temos
y_{2}'=v' y_{1}+v y_{1}', \qquad y_{2}''=v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''.
Agora substituímos y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação
x^{2}y''+3x y'+y=0.

Passo 5

Substituição e simplificação usando que y_{1} é solução. Substituindo os termos obtemos:
x^{2}\big(v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''\big) +3x\big(v' y_{1}+v y_{1}'\big) +v y_{1}=0.
Agrupando por v, v', v'':
v\big(x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'+y_{1}\big) +v'\big(2x^{2}y_{1}'+3x y_{1}\big) +v''\big(x^{2}y_{1}\big)=0.
Mas como y_{1} é solução, o primeiro coeficiente é zero:
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'+y_{1}=0.
Logo sobra
v'\big(2x^{2}y_{1}'+3x y_{1}\big)+v''\big(x^{2}y_{1}\big)=0.

Passo 6

Redução de ordem: definir u(x)=v'(x) para transformar em uma equação de primeira ordem para u. Assim u'=v'' e a equação fica
x^{2}y_{1}\,u'+\big(2x^{2}y_{1}'+3x y_{1}\big)u=0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para u. Vamos colocá-la na forma padrão u'+P(x)u=0 dividindo por x^{2}y_{1}:
u' + \frac{2x^{2}y_{1}'+3x y_{1}}{x^{2}y_{1}}\,u = 0.

Passo 7

Calcular o coeficiente explícito usando y_{1}=x^{-1}. Primeiro calcule y_{1}'/y_{1}:
\frac{y_{1}'}{y_{1}} = \frac{-x^{-2}}{x^{-1}} = -x^{-1}.
Agora a fração do coeficiente é
\frac{2x^{2}y_{1}'+3x y_{1}}{x^{2}y_{1}} =2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+\frac{3}{x} =2\big(-\frac{1}{x}\big)+\frac{3}{x}=\frac{1}{x}.
Portanto a equação para u é
u'+\frac{1}{x}u=0.

Passo 8

Resolver a equação para u. Ela é separável / linear homogênea simples:
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x}u \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u} = -\frac{dx}{x}.
Integrando:
\ln|u| = -\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad u(x)=\frac{C_{1}}{x},
onde C_{1} é constante. Lembrando u=v', obtemos
v'(x)=\frac{C_{1}}{x}.
Integrando novamente:
v(x)=C_{1}\ln x + C_{2}.
Para obter uma segunda solução independente basta escolher o v que não seja constante múltiplo (constante C_{2} gera múltiplos de y_{1}). Tomamos a escolha padrão C_{1}=1, C_{2}=0 para a solução fundamental:
v(x)=\ln x.
Então uma segunda solução é
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x)=\big(\ln x\big)\,x^{-1} = x^{-1}\ln x.

Passo 9

Verificação/garantia de que y_{2} é solução: o procedimento de redução de ordem produziu v a partir da equação resultante, logo y_{2}=v y_{1} satisfaz a equação. Se quiser, podemos verificar diretamente substituindo y_{2} e suas derivadas; isso dará zero. Agora precisamos provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em x>0.
Calculamos o wronskiano W(y_{1},y_{2})(x) definido por
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Usando y_{1}=x^{-1} e y_{2}=x^{-1}\ln x temos y_{1}'=-x^{-2} e, calculando y_{2}',
y_{2}'=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\ln x\big)=(-x^{-2})\ln x + x^{-1}\cdot\frac{1}{x} = x^{-2}(1-\ln x).
Agora o wronskiano:
W(x)=x^{-1}\cdot x^{-2}(1-\ln x) - x^{-1}\ln x\cdot(-x^{-2}) = x^{-3}(1-\ln x)+x^{-3}\ln x = x^{-3}.
Para x>0 temos x^{-3}\neq0. Assim W(x)\neq0 em todo o intervalo x>0. Pelo critério do wronskiano, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em x>0 e portanto formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.]

Resposta

y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação x^{2}y''+3x y'+y=0.\n v(x)=\ln x (até adição de constante) e y_{2}(x)=x^{-1}\ln x é uma segunda solução.\nO wronskiano é W(x)=x^{-3}\neq0 para x>0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base (soluções fundamentais) no intervalo x>0.

Exercícios relacionados