Mostre que y_{1}(x)=x^{-1}, x>0 é solução da equação diferencial x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0. Encontre uma função v(x) tal que y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'+y=0,
definida para x>0, e diz que y_{1}(x)=x^{-1} é uma função candidata. O que pede o problema:
Mostrar que \,y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação dada.
Encontrar uma função v(x) tal que \,y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x) seja também solução da equação.
Provar que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções (ou seja, são linearmente independentes em x>0).
As informações relevantes: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem e a solução proposta \,y_{1}(x)=x^{-1} para x>0. A seguir vamos verificar a solução, usar o método de redução de ordem para achar v, e provar independência usando o wronskiano.
Passo 2
Verificação direta de que \,y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas de y_{1}.
Portanto \,y_{1}(x)=x^{-1} realmente satisfaz a equação para x>0.
Passo 3
Apresentação do método para achar a segunda solução: redução de ordem. Ideia intuitiva (passo a passo): se conhecemos uma solução não nula y_{1} de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos buscar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função desconhecida. Substituindo y_{2} na equação, obtemos uma equação para v que tem ordem reduzida (normalmente reduzimos a segunda ordem para uma primeira ordem numa nova variável). Vou executar isso calmamente.
Passo 4
Calcular y_{2}' e y_{2}'' em termos de v e de y_{1}. Com y_{2}=v y_{1} temos
\ln|u| = -\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad u(x)=\frac{C_{1}}{x},
onde C_{1} é constante. Lembrando u=v', obtemos
v'(x)=\frac{C_{1}}{x}.
Integrando novamente:
v(x)=C_{1}\ln x + C_{2}.
Para obter uma segunda solução independente basta escolher o v que não seja constante múltiplo (constante C_{2} gera múltiplos de y_{1}). Tomamos a escolha padrão C_{1}=1, C_{2}=0 para a solução fundamental:
Verificação/garantia de que y_{2} é solução: o procedimento de redução de ordem produziu v a partir da equação resultante, logo y_{2}=v y_{1} satisfaz a equação. Se quiser, podemos verificar diretamente substituindo y_{2} e suas derivadas; isso dará zero. Agora precisamos provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em x>0.
Calculamos o wronskiano W(y_{1},y_{2})(x) definido por
Para x>0 temos x^{-3}\neq0. Assim W(x)\neq0 em todo o intervalo x>0. Pelo critério do wronskiano, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em x>0 e portanto formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea.]
Resposta
y_{1}(x)=x^{-1} é solução da equação x^{2}y''+3x y'+y=0.\nv(x)=\ln x (até adição de constante) e y_{2}(x)=x^{-1}\ln x é uma segunda solução.\nO wronskiano é W(x)=x^{-3}\neq0 para x>0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base (soluções fundamentais) no intervalo x>0.