O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções, também, em forma de séries de potências em torno de um ponto onde está definida a EDO
Este método é util para quando temos as funções e não são analíticas em , o que tipicamente ocorre quando esse ponto é singular, i. e., um ponto onde e dá problema.
Tomemos o seguinte exemplo para ilustrarmos o problema
é fácil notar que é um ponto singular. Agora assumiremos uma solução na forma
Tomemos as derivadas
Agora para ajustarmos os índices tomemos no primeiro termo de (analogo para ) e no segundo termo ( analogamente para ), de forma que podemos escrever as séries acima como
substituindo as séries acima na EDO e manipulando chegamos a seguinte equação
Igualando o coeficiente do primeiro termo a zero, onde assumimos , obtemos a chamada equação indicial
onde obtemos e . Agora assumimos que os
Agora o problema se divide em dois casos onde substituimos e no termo de recorrência onde obteremos os termos para duas soluções. De forma que a solução geral pelo método de Frobenius depende de duas funções L.I. e ,
onde é sempre dada por
equanto depende da relação entre e :
Agora é a sua vez, repita o processo acima para as EDOx^2 y^prime prime-x y=0
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método de Frobenius à EDO
x^2y''-x y=0,
que tem ponto singular em x0=0. Vamos expandir em torno de x=0 assumindo uma solução da forma y(x)=sumn=0^inftyanx^n+r
Passo 2
Derivamos
y'=sumn=0^infty(n+r)anx^n+r-1,
y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r-2
Então x^2y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r,
-x y=-sumn=0^inftyanx^n+r+1=-sumj=1^inftyaj-1x^j+r
Reescrevendo ambas como potências x^j+r e somando, obtemos sumj=0^inftyl[(j+r)(j+r-1)aj-aj-1r]x^j+r=0,
onde definimos a-1=0.
Passo 3
Para cancelar o termo de menor potência (j=0) igualamos o coeficiente a zero:
r(r-1)a0=0
Como assumimos a0neq0, a equação indicial é r(r-1)=0
aj=a0prodk=1^jk(k+1)=a0j!,(j+1)!
Escolhendo a0=1 gera a primeira solução
Passo 5
Como r1-r2=1 é inteiro, a segunda solução envolve logaritmo. Logo
y1(x)=xsumj=0^inftyx^jj!,(j+1)!,
y2(x)=y1(x)ln|x|+sumn=0^inftycnx^n,
onde os cn podem ser obtidos por substituição direta no método de Frobenius. A solução geral é y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
Resposta
As duas soluções independentes são
y1(x)=xsumj=0^inftyx^jj!,(j+1)!,
y2(x)=y1(x)ln|x|+sumn=0^inftycnx^n,
e a solução geral da EDO é y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)