Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar

  1. Encontre a solução geral das equações:
    a) y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=x e^{-5 x}.
    b) y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+6 y=3 x.

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de segunda ordem não-homogêneas cujas partes homogêneas têm coeficientes constantes. Para resolver usamos o método dos coeficientes a determinar: (1) achar a solução geral da equação homogênea via equação característica; (2) propor uma forma de solução particular conforme o termo não-homogêneo; (3) determinar os parâmetros; (4) montar a solução geral.

Passo 2

Para a equação (a)
y''+5y'+6y= x\,e^{-5x},
montamos a equação característica
r^2+5r+6=0.
Resolve-se
r = \frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2} = -2,\,-3.
Logo a solução complementar é
y_{h,a}(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular de
y''+5y'+6y = x\,e^{-5x}
propomos
y_{p,a}(x) = (Ax + B)e^{-5x},
pois o termo não-homogêneo é polinômio vezes exponencial sem ressonância. Calculamos
y'_{p,a} = [(-5A)x + (A -5B)]\,e^{-5x},\quad y''_{p,a} = [25A x + (25B -10A)]\,e^{-5x}.
Substituindo em y''+5y'+6y e igualando a x\,e^{-5x}
(6A)x + (6B -5A) = x \qquad\Longrightarrow\qquad 6A=1,\;6B-5A=0,
de onde
A=\tfrac16,\quad B=\tfrac5{36}.

Passo 4

A solução geral da parte (a) fica
y_a(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \bigl(\tfrac{x}{6}+\tfrac{5}{36}\bigr)e^{-5x}.

Passo 5

Para a equação (b)
y''-4y'+6y=3x
resolvemos a característica
r^2-4r+6=0 \;\Longrightarrow\; r = 2\pm i\sqrt2.
A solução complementar é
y_{h,b}(x) = e^{2x}\bigl(C_3\cos(\sqrt2\,x)+C_4\sin(\sqrt2\,x)\bigr).

Passo 6

Como o não-homogêneo é 3x, um polinômio de grau 1, propomos
y_{p,b}(x) = Ax + B.
Então y'_{p,b}=A e y''_{p,b}=0. Substituindo em y''-4y'+6y=3x resulta
6Ax + (6B -4A)=3x \qquad\Longrightarrow\qquad 6A=3,\;6B-4A=0,
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A=\tfrac12,\quad B=\tfrac13.

Passo 7

A solução geral da parte (b) é
y_b(x)=e^{2x}\bigl(C_3\cos(\sqrt2\,x)+C_4\sin(\sqrt2\,x)\bigr)+\bigl(\tfrac{x}{2}+\tfrac13\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}+\bigl(\tfrac{x}{6}+\tfrac{5}{36}\bigr)e^{-5x}.
(b) \displaystyle y(x)=e^{2x}\bigl(C_3\cos(\sqrt2x)+C_4\sin(\sqrt2x)\bigr)+\bigl(\tfrac{x}{2}+\tfrac13\bigr).

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