Método da Var. dos Parâmetros e dos Coef. a Determinar
- Encontre a solução geral das equações:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de segunda ordem não-homogêneas cujas partes homogêneas têm coeficientes constantes. Para resolver usamos o método dos coeficientes a determinar: (1) achar a solução geral da equação homogênea via equação característica; (2) propor uma forma de solução particular conforme o termo não-homogêneo; (3) determinar os parâmetros; (4) montar a solução geral.
Passo 2
Para a equação (a)
montamos a equação característica
Resolve-se
Logo a solução complementar é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular de
propomos
pois o termo não-homogêneo é polinômio vezes exponencial sem ressonância. Calculamos
Substituindo em
e igualando a
dá
de onde
Passo 4
A solução geral da parte (a) fica
Passo 5
Para a equação (b)
resolvemos a característica
A solução complementar é
Passo 6
Como o não-homogêneo é
, um polinômio de grau 1, propomos
Então
e
. Substituindo em
resulta
logo
Passo 7
A solução geral da parte (b) é
Resposta
(a)
(b)
(b)