Suponha que a [f d p) conjunta da variável aleatória bidimensional seja dada por:
Calcule o seguinte:
(P(Y<1 / 2 \mid X<1 / 2)]

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=x^2+x y3, 0<x<1,;0<y<2
e pede a probabilidade condicional
Pl(Y<tfrac12mid X<tfrac12r) =Pl(X<tfrac12,Y<tfrac12r)Pl(X<tfrac12r)
Vamos calcular o numerador e o denominador por integrais.

Passo 2

Numerador:
Pl(X<tfrac12,Y<tfrac12r) =integralx=0^1/2!integraly=0^1/2l(x^2+x y3r),dy,dx
Primeiro integramos em y:
integral0^1/2l(x^2+tfracx y3r)dy =x^2y+x,y^26|0^1/2 =x^22+x24 =12x^2+x24
Agora em x:
integral0^1/212x^2+x24,dx =124l(4x^3+tfracx^22r)|0^1/2 =124l(tfrac12+tfrac18r) =5192

Passo 3

Denominador:
Pl(X<tfrac12r) =integralx=0^1/2!integraly=0^2l(x^2+x y3r),dy,dx
Em y:
integral0^2l(x^2+tfracx y3r)dy =2x^2+xcdot 2^26 =2x^2+2x3
Em x:
integral0^1/2l(2x^2+tfrac2x3r),dx =2x^33+x^23|0^1/2 =112+112 =16
Logo a probabilidade condicional é
Pl(Y<tfrac12mid X<tfrac12r) =5/1921/6 =532

Resposta

532

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