No MHS, se o período do movimento total é de \mathrm{T}=24 s, quanto tempo demora para a partícula sair de um ponto de máximo ou de mínimo e retornar ao ponto central?
◯ 2 s
4 s
◯ 6 s
◯ 12 s

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Período do movimento: T=24\\ \text{s}.
    O que se pede:
  • Quanto tempo demora para a partícula sair de um ponto de máximo (ou mínimo) e retornar ao ponto central?

Passo 2

Primeiro vamos entender como as posições no tempo se distribuem num movimento harmônico simples quando a partícula começa num máximo. Uma forma prática de representar a posição é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo de x);
  • \omega é a velocidade angular;
  • \varphi é a fase inicial.
Se a partícula está em um ponto de máximo no instante t=0, isso significa x(0)=A. Uma escolha conveniente de fase é \varphi=0, então
x(t)=A\cos(\omega t).

Passo 3

O ponto central (equilíbrio) corresponde a x=0. Para achar os instantes em que x(t)=0 resolvemos
\cos(\omega t)=0.
Os argumentos onde o cosseno é zero são \omega t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k inteiro. Logo
t=\frac{\tfrac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}.

Passo 4

Relacionamos \omega e T pela fórmula conhecida
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo em t obtemos os primeiros dois instantes positivos em que a partícula passa pelo centro:
t_1=\frac{\tfrac{\pi}{2}}{\omega}=\frac{\tfrac{\pi}{2}}{2\pi/T}=\frac{T}{4}, \qquad t_2=\frac{\tfrac{3\pi}{2}}{\omega}=\frac{3T}{4}.

Passo 5

Interpretação temporal: se a partícula está no máximo em t=0, ela atinge o ponto central pela primeira vez em t_1=\dfrac{T}{4} e volta a passar no ponto central novamente em t_2=\dfrac{3T}{4}. O intervalo de tempo entre essas duas passagens pelo centro (isto é, sair do máximo e “retornar” ao ponto central numa passagem subsequente) é
\Delta t=t_2-t_1=\frac{3T}{4}-\frac{T}{4}=\frac{T}{2}.
Com T=24\\ \text{s} temos
\Delta t=\frac{24}{2}=12\\ \text{s}.

Resposta

12\\ \text{s}

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