(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite
Informações dadas:
- A variável tende para
pela esquerda, ou seja . - A expressão é a razão entre dois polinômios em
: - Numerador:
. - Denominador:
.
- Numerador:
Passo 2
Avaliar a expressão em
para ver o tipo de indeterminação:
Como numerador e denominador valem
em
, a forma é a indeterminação do tipo
.
Passo 3
Para resolver uma indeterminação do tipo
uma técnica comum é fatorar e cancelar o fator que causa o zero. Vamos fatorar o numerador. Reescrevendo:
Reconhece-se
. Portanto
Passo 4
Agora fatorar o denominador. Agrupando termos:
Fatorando
do primeiro par e
do segundo:
Usar a identidade
:
Desenvolvendo o parêntese:
Novamente
. Assim
Passo 5
Substituir as fatorações na razão e simplificar:
Os sinais negativos se cancelam e um fator
cancela, sobrando
Observação didática: a simplificação é válida para
. Como estamos calculando um limite quando
se aproxima de
(mas não iguala 1), essa simplificação é permitida.
Passo 6
Calcular o limite da forma simplificada quando
. Note que, para
, temos
(um número pequeno e negativo). Então
e
pois dividir
por um número que tende a
pelo lado negativo dá
. Assim o limite diverge para menos infinito.
Resposta
Indeterminação: