(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x-x^{2}-1}{6 x^{2}-2 x^{3}-6 x+2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar o tipo de indeterminação e calcular o limite
\lim_{x\to1^-}\frac{2x-x^{2}-1}{6x^{2}-2x^{3}-6x+2}.
Informações dadas:
  • A variável tende para 1 pela esquerda, ou seja x\to1^-.
  • A expressão é a razão entre dois polinômios em x:
    • Numerador: 2x-x^{2}-1.
    • Denominador: 6x^{2}-2x^{3}-6x+2.

Passo 2

Avaliar a expressão em x=1 para ver o tipo de indeterminação:
\text{Numerador em }x=1:\;2\cdot1-1^{2}-1=2-1-1=0,
\text{Denominador em }x=1:\;6\cdot1^{2}-2\cdot1^{3}-6\cdot1+2=6-2-6+2=0.
Como numerador e denominador valem 0 em x=1, a forma é a indeterminação do tipo \,0/0\,.

Passo 3

Para resolver uma indeterminação do tipo \,0/0\, uma técnica comum é fatorar e cancelar o fator que causa o zero. Vamos fatorar o numerador. Reescrevendo:
2x-x^{2}-1 = -x^{2}+2x-1 = -(x^{2}-2x+1).
Reconhece-se x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Portanto
2x-x^{2}-1 = -(x-1)^{2}.

Passo 4

Agora fatorar o denominador. Agrupando termos:
6x^{2}-2x^{3}-6x+2 = (6x^{2}-6x)+(-2x^{3}+2).
Fatorando 6x do primeiro par e -2 do segundo:
=6x(x-1)-2(x^{3}-1).
Usar a identidade x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1):
6x(x-1)-2(x-1)(x^{2}+x+1)=(x-1)\bigl(6x-2(x^{2}+x+1)\bigr).
Desenvolvendo o parêntese:
6x-2(x^{2}+x+1)=6x-2x^{2}-2x-2=-2x^{2}+4x-2=-2(x^{2}-2x+1).
Novamente x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Assim
6x^{2}-2x^{3}-6x+2=(x-1)\bigl(-2(x-1)^{2}\bigr)=-2(x-1)^{3}.

Passo 5

Substituir as fatorações na razão e simplificar:
\frac{2x-x^{2}-1}{6x^{2}-2x^{3}-6x+2}=\frac{-(x-1)^{2}}{-2(x-1)^{3}}.
Os sinais negativos se cancelam e um fator (x-1)^{2} cancela, sobrando
\frac{1}{2(x-1)}.
Observação didática: a simplificação é válida para x\neq1. Como estamos calculando um limite quando x se aproxima de 1 (mas não iguala 1), essa simplificação é permitida.

Passo 6

Calcular o limite da forma simplificada quando x\to1^-. Note que, para x\to1^-, temos x-1\to0^- (um número pequeno e negativo). Então 2(x-1)\to0^- e
\frac{1}{2(x-1)}\to-\infty,
pois dividir 1 por um número que tende a 0 pelo lado negativo dá -\infty. Assim o limite diverge para menos infinito.

Resposta

Indeterminação: \,0/0\,
\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{2x-x^{2}-1}{6x^{2}-2x^{3}-6x+2}=-\infty

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