(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) identificar o tipo de indeterminação do limite e (2) calcular o valor do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função a ser avaliada é
. - O ponto de interesse é
. - Saber o comportamento de
, e perto de será útil (por exemplo, valores limite e continuidade).
Passo 2
Verificar os limites separados do numerador e do denominador quando
.
- Para o numerador:
. Como quando e tende a um número finito (veremos isso no próximo passo), o numerador tende a . - Para o denominador:
quando .
Portanto temos uma forma do tipo
, ou seja, é uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Explicar o comportamento de
quando
.
A função
é contínua para todo
. A função
é também contínua em
porque
. Pela continuidade das composições, tem-se
Então
tende a
, um número não nulo (apenas uma constante).
Passo 4
Separar fatores e usar limites conhecidos.
Escrevemos
Como
tem limite
finito quando
, podemos passar ao limite:
desde que o segundo limite exista (e nós vamos calcular).
Passo 5
Calcular
usando o limite padrão
.
Manipulamos:
Agora, quando
temos
. Também
. Portanto o produto tende a
:
Passo 6
Combinar os resultados finais.
Usando o Passo 4 e o Passo 5,