(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x^{2} \cdot \cos \operatorname{sec} (x)}{\operatorname{tg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) identificar o tipo de indeterminação do limite e (2) calcular o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}\cdot\cos(\operatorname{sec}(x))}{\operatorname{tg}(x)}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a ser avaliada é \dfrac{3x^{2}\cos(\operatorname{sec}(x))}{\operatorname{tg}(x)}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Saber o comportamento de \operatorname{sec}(x), \cos(\cdot) e \operatorname{tg}(x) perto de 0 será útil (por exemplo, valores limite e continuidade).

Passo 2

Verificar os limites separados do numerador e do denominador quando x\to 0.
  • Para o numerador: 3x^{2}\cos(\operatorname{sec}(x)). Como x^{2}\to 0 quando x\to 0 e \cos(\operatorname{sec}(x)) tende a um número finito (veremos isso no próximo passo), o numerador tende a 0.
  • Para o denominador: \operatorname{tg}(x)\to 0 quando x\to 0.
Portanto temos uma forma do tipo \dfrac{0}{0}, ou seja, é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Explicar o comportamento de \cos(\operatorname{sec}(x)) quando x\to 0.
A função \cos(u) é contínua para todo u. A função \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)} é também contínua em x=0 porque \cos(0)=1\neq 0. Pela continuidade das composições, tem-se
\lim_{x\to 0}\cos(\operatorname{sec}(x))=\cos\big(\operatorname{sec}(0)\big)=\cos(1).
Então \cos(\operatorname{sec}(x)) tende a \cos(1), um número não nulo (apenas uma constante).

Passo 4

Separar fatores e usar limites conhecidos.
Escrevemos
\frac{3x^{2}\cos(\operatorname{sec}(x))}{\operatorname{tg}(x)} = \cos(\operatorname{sec}(x))\cdot \frac{3x^{2}}{\operatorname{tg}(x)}.
Como \cos(\operatorname{sec}(x)) tem limite \cos(1) finito quando x\to 0, podemos passar ao limite:
\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}\cos(\operatorname{sec}(x))}{\operatorname{tg}(x)} = \cos(1)\cdot \lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}}{\operatorname{tg}(x)},
desde que o segundo limite exista (e nós vamos calcular).

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{3x^{2}}{\operatorname{tg}(x)} usando o limite padrão \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg}(x)}{x}=1.
Manipulamos:
\frac{3x^{2}}{\operatorname{tg}(x)} = 3x\cdot\frac{x}{\operatorname{tg}(x)}.
Agora, quando x\to 0 temos \dfrac{x}{\operatorname{tg}(x)}=\dfrac{1}{\operatorname{tg}(x)/x}\to \dfrac{1}{1}=1. Também 3x\to 0. Portanto o produto tende a 0:
\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}}{\operatorname{tg}(x)} = 3\cdot 0 \cdot 1 = 0.

Passo 6

Combinar os resultados finais.
Usando o Passo 4 e o Passo 5,
\lim_{x\to 0}\frac{3x^{2}\cos(\operatorname{sec}(x))}{\operatorname{tg}(x)} = \cos(1)\cdot 0 = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados