1. Missão impacto profundo. Em julho de 2005, a missão “Impacto Profundo” da NASA espatifou uma sonda de 372 kg contra o comenta Tempel 1, atingindo a superfície a 37.000 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A velocidade escalar original do cometa nesse instante era de aproximadamente 40.000 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e sua massa foi estimada na ordem de (0,10-2,5) \times 10^{14} \mathrm{~kg}. Use o menor valor da massa estimada. (a) qual variação na velocidade do cometa essa colisão produziu? Essa variação seria perceptível? (b) suponha que esse cometa fosse atingir a Terra e se fundir com ela. Em quanto tempo ele alteraria a velocidade do nosso planeta? Essa mudança seria perceptível? (A massa da Terra é 5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg} ).
Resp.: a) 1,4 \times 10^{-6} \mathrm{~km} / \mathrm{h}, que não é perceptível;
b) 6,7 \times 10^{-8} \mathrm{~km} / \mathrm{h}, que não é perceptível.

Passo 1

O enunciado nos dá (usei o menor valor da massa do cometa, conforme pedido):
  • Massa da sonda: m_s = 372\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da sonda ao impactar (velocidade relativa à superfície do cometa): v_{\text{rel}} = 37\,000\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Velocidade escalar do cometa (antes do impacto), na ordem dada: v_c = 40\,000\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Massa estimada do cometa (menor valor da faixa): m_c = 0,10\times10^{14}\\ \mathrm{kg} = 1\times10^{13}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa da Terra (para a parte b): m_T = 5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular a variação na velocidade do cometa causada pela colisão da sonda e dizer se isso seria perceptível;
(b) supondo que esse mesmo cometa colidisse e se fundisse com a Terra, calcular quanto essa fusão alteraria a velocidade do planeta e dizer se seria perceptível.

Passo 2

Princípio físico usado e fórmula geral (explicação didática).
  • Em colisões onde os corpos se fundem ou ficam juntos imediatamente após o choque, usamos a conservação da quantidade de movimento linear (momentum). A ideia: a soma das quantidades de movimento antes do choque é igual à soma depois do choque, em ausência de forças externas significativas durante o intervalo do impacto.
  • Definições:
    • m_c: massa do cometa;
    • m_s: massa da sonda;
    • v_c: velocidade do cometa antes do impacto (num certo referencial);
    • v_s: velocidade da sonda antes do impacto (no mesmo referencial);
    • v_f: velocidade conjunta depois do impacto.
  • Equação da conservação do momentum linear para a colisão perfeitamente inelástica (os corpos ficam juntos):
m_c v_c + m_s v_s = (m_c + m_s)\,v_f.
  • Daí
v_f = \frac{m_c v_c + m_s v_s}{m_c + m_s}.
  • A variação da velocidade do cometa (no referencial em que v_c é medido) é
\Delta v = v_f - v_c = \frac{m_s}{m_c + m_s}\,(v_s - v_c).
  • Observação sobre referencial: é muitas vezes mais simples calcular a mudança de velocidade do cometa usando o referencial em que o cometa estava inicialmente em repouso; nesse referencial a sonda atinge o cometa com velocidade igual à velocidade relativa v_{\text{rel}}. Nesse caso a mudança de velocidade do cometa é
\Delta v \;=\; \frac{m_s}{m_c + m_s}\,v_{\text{rel}}.
Como m_s \ll m_c, podemos aproximar m_c + m_s \approx m_c e usar
\Delta v \approx \frac{m_s}{m_c}\,v_{\text{rel}}.
Isto é intuitivo: o incremento de velocidade do corpo pesado é proporcional à razão das massas vezes a velocidade do pequeno.

Passo 3

Cálculo numérico da parte (a) — variação de velocidade do cometa pela sonda.
  • Usando a aproximação \Delta v \approx \dfrac{m_s}{m_c}\,v_{\text{rel}}, substituímos os valores (mantendo unidades de \mathrm{km}/\mathrm{h}):
\Delta v \approx \frac{372}{1\times10^{13}}\times 37\,000\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Faço a multiplicação passo a passo:
    • 372\times 37\,000 = 372\times 37\times1000 = 13\,764\times1000 = 13\,764\,000.
    • Dividindo por 10^{13} \Delta v = 13\,764\,000\times10^{-13}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 1,3764\times10^{-6}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Arredondando com dois algarismos significativos:
\Delta v \approx 1,4\times10^{-6}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 4

Interpretação da parte (a): isso seria perceptível?
  • Comparação relativa com a velocidade do cometa:
\frac{\Delta v}{v_c}\approx\frac{1,4\times10^{-6}}{40\,000}\approx 3,5\times10^{-11}.
Ou seja, a mudança é da ordem de 10^{-11} da velocidade original — absurdamente pequena.
  • Em unidades mais familiares: 1\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 0,27778\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Assim
1,4\times10^{-6}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 1,4\times10^{-6}\times0,27778\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 3,9\times10^{-7}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Isso é menos de um mícron por segundo — impossível de perceber por observação direta. Conclusão: não perceptível.

Passo 5

Cálculo numérico da parte (b) — se o cometa se fundir com a Terra.
  • Aplicando o mesmo raciocínio (em referencial onde a Terra está inicialmente em repouso relativo), a variação instantânea da velocidade da Terra seria
\Delta v_T = \frac{m_c}{m_T + m_c}\,v_c \approx \frac{m_c}{m_T}\,v_c,
pois m_c \ll m_T.
  • Substituindo m_c=1\times10^{13}\\ \mathrm{kg}, m_T=5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg} e v_c=40\,000\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}:
\Delta v_T \approx \frac{1\times10^{13}}{5,97\times10^{24}}\times 40\,000\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Faço a conta:
    • \dfrac{1\times10^{13}}{5,97\times10^{24}}=\dfrac{1}{5,97}\times10^{-11}\approx 0,1675\times10^{-11}=1,675\times10^{-12}.
    • Multiplicando por 40\,000 \Delta v_T \approx 1,675\times10^{-12}\times4,0\times10^{4}=6,7\times10^{-8}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 6

Interpretação da parte (b): isso seria perceptível?
  • Comparação com a velocidade orbital típica da Terra ao redor do Sol (aprox. v_{\oplus}\approx 29,8\\ \mathrm{km}/\mathrm{s}=107\,280\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}):
\frac{\Delta v_T}{v_{\oplus}}\approx\frac{6,7\times10^{-8}}{1,07\times10^{5}}\approx 6{,}3\times10^{-13}.
  • Em termos absolutos, 6,7\times10^{-8}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} é 6,7\times10^{-8}\times0,27778\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1,9\times10^{-8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} — novamente ridiculamente pequeno.
  • Conclusão: essa alteração seria totalmente imperceptível e insignificante dinamicamente.

Resposta

a) 1,4\times10^{-6}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, que não é perceptível.
b) 6,7\times10^{-8}\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, que não é perceptível.

Exercícios relacionados