1. Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kg se choca com um jogador meio-campo de 85 kg . Imediatamente antes da colisão , o zagueiro se deslocava com velocidade de 8,8 \mathrm{m} / \mathrm{s} do sul para o norte e o outro jogador se deslocava com velocidade de 7,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do oeste para o leste. Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual os dois jogadores se movem unidos após a colisão?
Resp.: 5,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 32^{\circ} do leste para o norte.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Massa do zagueiro: m_1=110\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do zagueiro: v_1=8,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} na direção do sul para o norte (ou seja, sentido norte).
  • Massa do meio-campo: m_2=85\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade do meio-campo: v_2=7,2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} no sentido oeste para leste (ou seja, sentido leste).
O que o enunciado pede:
  • A velocidade dos dois jogadores unidos após a colisão — ou seja: calcular o módulo (rapidez), a direção e o sentido da velocidade comum após a colisão.
Observação que vou usar (sem ainda resolver): a colisão deixa os dois jogadores unidos, então trata-se de um choque perfeitamente inelástico e podemos usar a conservação da quantidade de movimento (momento) linear do sistema para encontrar a velocidade conjunta após a colisão.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e definição de sinais (muito importante numa prova):
  • Tomar o eixo x positivo apontando para leste.
  • Tomar o eixo y positivo apontando para norte.
    Assim, componentes positivas em x representam movimento para leste e em y para norte.
Explicar o conceito usado: quantidade de movimento (momento linear) de uma partícula é definida por \vec{p}=m\vec{v}. Em colisões isoladas (sem forças externas significativas), o momento total do sistema se conserva:
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
No caso final, com os dois jogadores unidos, \vec{p}_{\text{final}} = M \vec{V}, onde M=m_1+m_2 é a massa combinada e \vec{V} é a velocidade comum que queremos.

Passo 3

Calcular os momentos iniciais (componentes x e y) de cada jogador.
Para o zagueiro (índice 1), movendo-se para norte:
  • A componente x é zero: p_{1x}=m_1 v_{1x}=110\cdot 0=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • A componente y é p_{1y}=m_1 v_{1y}=110\cdot 8,8. Calcule:
p_{1y}=110\cdot 8,8 = 968\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Para o meio-campo (índice 2), movendo-se para leste:
  • A componente y é zero: p_{2y}=m_2 v_{2y}=85\cdot 0=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • A componente x é p_{2x}=m_2 v_{2x}=85\cdot 7,2. Calcule:
p_{2x}=85\cdot 7,2 = 612\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Somar os momentos (componentes) para obter o momento total inicial do sistema.
Somando componentes x e y:
P_x = p_{1x}+p_{2x}=0+612=612\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
P_y = p_{1y}+p_{2y}=968+0=968\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Esses são os componentes do momento total antes da colisão. Pela conservação do momento, esses mesmos componentes correspondem ao momento final do par unido.

Passo 5

Calcular a velocidade conjunta \vec{V}=(V_x,V_y) usando \vec{P}=M\vec{V}, com M=m_1+m_2.
A massa combinada é
M=m_1+m_2=110+85=195\\ \mathrm{kg}.
Portanto as componentes da velocidade comum são
V_x=\frac{P_x}{M}=\frac{612}{195}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, \qquad V_y=\frac{P_y}{M}=\frac{968}{195}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calcule numericamente:
V_x\approx 3,138461538\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\quad(\text{leste}),
V_y\approx 4,965128205\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\quad(\text{norte}).

Passo 6

Calcular o módulo (rapidez) da velocidade resultante. Uso a fórmula do módulo de um vetor em componentes:
V=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}.
Substituindo os valores (ou, equivalente e ligeiramente mais direto, dividir o módulo do momento total pela massa combinada):
  • Primeiro o módulo do momento total:
|\vec{P}|=\sqrt{P_x^{2}+P_y^{2}}=\sqrt{612^{2}+968^{2}}=\sqrt{1\,311\,568}\approx 1145,237\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Agora a velocidade:
V=\frac{|\vec{P}|}{M}=\frac{1145,237}{195}\approx 5,8735\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando de forma adequada (duas ou três cifras significativas, condizente com dados iniciais), obtemos
V\approx 5,9\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 7

Determinar a direção e o sentido da velocidade resultante.
Escolha da referência angular: é preciso dizer em relação a qual direção medimos o ângulo. Aqui vou dar o ângulo medido a partir do norte, girando em direção ao leste (ou equivalentemente, dar o ângulo no quadrante NE). A razão é que a componente norte V_y é maior que a componente leste V_x, então faz sentido dizer “x graus em relação ao norte em direção ao leste” — isso evita ângulos maiores que 45^\circ na outra convenção.
O ângulo \theta (leste a partir do norte seria \theta=\arctan\!\big(\tfrac{V_x}{V_y}\big)) é
\theta=\arctan\!\left(\frac{V_x}{V_y}\right)=\arctan\!\left(\frac{3,13846}{4,96513}\right)\approx \arctan(0,632) \approx 32,4^\circ.
Interpretação: isso significa que a velocidade conjunta aponta do norte, defletida em 32^\circ em direção ao leste — em linguagem do enunciado: a direção é entre leste e norte, com sentido apontando para nordeste mas mais voltado para o norte.

Passo 8

Resumo final (colocando módulo, direção e sentido de forma clara):
  • Módulo: V\approx 5,9\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Direção e sentido: formando um ângulo de aproximadamente 32^\circ partindo do norte em direção ao leste (equivalente a dizer “ 32^\circ do leste para o norte”, conforme convenção usada no enunciado).

Resposta

5,9\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} a 32^\circ do leste para o norte.

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