- Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kg se choca com um jogador meio-campo de 85 kg . Imediatamente antes da colisão , o zagueiro se deslocava com velocidade de 8,8
do sul para o norte e o outro jogador se deslocava com velocidade de
do oeste para o leste. Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual os dois jogadores se movem unidos após a colisão?
Resp.:
a
do leste para o norte.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Massa do zagueiro:
. - Velocidade do zagueiro:
na direção do sul para o norte (ou seja, sentido norte). - Massa do meio-campo:
. - Velocidade do meio-campo:
no sentido oeste para leste (ou seja, sentido leste).
O que o enunciado pede:
- A velocidade dos dois jogadores unidos após a colisão — ou seja: calcular o módulo (rapidez), a direção e o sentido da velocidade comum após a colisão.
Observação que vou usar (sem ainda resolver): a colisão deixa os dois jogadores unidos, então trata-se de um choque perfeitamente inelástico e podemos usar a conservação da quantidade de movimento (momento) linear do sistema para encontrar a velocidade conjunta após a colisão.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e definição de sinais (muito importante numa prova):
- Tomar o eixo
positivo apontando para leste. - Tomar o eixo
positivo apontando para norte.
Assim, componentes positivas emrepresentam movimento para leste e em para norte.
Explicar o conceito usado: quantidade de movimento (momento linear) de uma partícula é definida por
. Em colisões isoladas (sem forças externas significativas), o momento total do sistema se conserva:
No caso final, com os dois jogadores unidos,
, onde
é a massa combinada e
é a velocidade comum que queremos.
Passo 3
Calcular os momentos iniciais (componentes
e
) de cada jogador.
Para o zagueiro (índice 1), movendo-se para norte:
- A componente
é zero: . - A componente
é . Calcule:
Para o meio-campo (índice 2), movendo-se para leste:
- A componente
é zero: . - A componente
é . Calcule:
Passo 4
Somar os momentos (componentes) para obter o momento total inicial do sistema.
Somando componentes
e
:
Esses são os componentes do momento total antes da colisão. Pela conservação do momento, esses mesmos componentes correspondem ao momento final do par unido.
Passo 5
Calcular a velocidade conjunta
usando
, com
.
A massa combinada é
Portanto as componentes da velocidade comum são
Calcule numericamente:
Passo 6
Calcular o módulo (rapidez) da velocidade resultante. Uso a fórmula do módulo de um vetor em componentes:
Substituindo os valores (ou, equivalente e ligeiramente mais direto, dividir o módulo do momento total pela massa combinada):
- Primeiro o módulo do momento total:
- Agora a velocidade:
Arredondando de forma adequada (duas ou três cifras significativas, condizente com dados iniciais), obtemos
Passo 7
Determinar a direção e o sentido da velocidade resultante.
Escolha da referência angular: é preciso dizer em relação a qual direção medimos o ângulo. Aqui vou dar o ângulo medido a partir do norte, girando em direção ao leste (ou equivalentemente, dar o ângulo no quadrante NE). A razão é que a componente norte
é maior que a componente leste
, então faz sentido dizer “x graus em relação ao norte em direção ao leste” — isso evita ângulos maiores que
na outra convenção.
O ângulo
(leste a partir do norte seria
) é
Interpretação: isso significa que a velocidade conjunta aponta do norte, defletida em
em direção ao leste — em linguagem do enunciado: a direção é entre leste e norte, com sentido apontando para nordeste mas mais voltado para o norte.
Passo 8
Resumo final (colocando módulo, direção e sentido de forma clara):
- Módulo:
. - Direção e sentido: formando um ângulo de aproximadamente
partindo do norte em direção ao leste (equivalente a dizer “ do leste para o norte”, conforme convenção usada no enunciado).