Uma mistura finamente dividida de galena e calcário, na proporção 2: 3 em peso, é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água ( \rho=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e \mu=0,85 \mathrm{cP} ) de 0,3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma (tabela abaixo). Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo.
DADOS: \rho_{\mathrm{g}}=7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \phi_{\mathrm{g}}=0,7, \rho_{\mathrm{c}}=2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \phi_{\mathrm{c}}=0,7.
\mathbf{d}(\mu \mathbf{m}) 20 30 40 50 60 70 80 100
\mathbf{y}(\%) 12 20 31 38 55 67 90 92

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a porcentagem de galena no material arrastado pela corrente ascendente (produto de saída superior).
  • Calcular a porcentagem de galena no produto de fundo (resíduo que não foi arrastado).
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Razão em peso da mistura: galena : calcário = 2:3. Logo a fracção mássica inicial de galena é \dfrac{2}{5}=0,4 e de calcário é \dfrac{3}{5}=0,6.
  • Propriedades do fluido (água): \rho_f=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}, \mu=0,85\\ \mathrm{cP}.
  • Velocidade ascendente da corrente: U=0,3\\ \mathrm{cm/s}.
  • Dados das partículas:
    • Galena: \rho_g=7\\ \mathrm{g/cm^{3}}, esfericidade \phi_g=0,7.
    • Calcário: \rho_c=2,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}, esfericidade \phi_c=0,7.
  • Distribuição granulométrica (assumo que y(\%) é porcentagem acumulada em massa mais fina que d):
    • d ( \mum): 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 100
    • y(\%): 12, 20, 31, 38, 55, 67, 90, 92
Observações que já definimos:
  • Vou usar a lei de Stokes (regime de baixíssimo número de Reynolds) com correção de esfericidade (mesma \varphi para ambos). Primeiro encontrarei o diâmetro crítico d_c para cada mineral tal que a velocidade terminal v_t(d_c)=U. Partículas com d<d_c são arrastadas; partículas com d>d_c sedimentam (ficam no fundo).
  • Transformarei a distribuição acumulada em frações de massa por classe (entre os diâmetros apresentados) para calcular quanto de cada mineral está em cada classe.

Passo 2

Princípio físico e fórmula usada (aula curta e prática):
  • Em regime laminar (Re pequeno) a velocidade terminal de uma partícula aproximadamente esférica é dada pela lei de Stokes (com correção de esfericidade). A forma usada aqui é
v_t=\frac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,d^2\,\varphi}{18\,\mu},
onde:
  • \rho_p é a densidade da partícula ( \mathrm{g/cm^{3}});
  • \rho_f é a densidade do fluido ( \mathrm{g/cm^{3}});
  • g é a aceleração da gravidade; usarei g=981\\ \mathrm{cm/s^{2}};
  • d é o diâmetro da partícula (em \mathrm{cm});
  • \varphi é a esfericidade (adimensional, 0<\varphi\le1); valores menores reduzem a velocidade;
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido em \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • Para obter o diâmetro crítico d_c (tal que v_t=U) isolamos d:
d_c=\sqrt{\frac{18\,\mu\,U}{(\rho_p-\rho_f)\,g\,\varphi}}.
  • Antes de aplicar, faço conversões e justificativas:
    • \mu=0,85\\ \mathrm{cP}=0,85\times 10^{-2}\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}=0,0085\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
    • Velocidade U já está em \mathrm{cm/s}.
    • Vou verificar ao final o número de Reynolds na condição crítica para garantir que o uso de Stokes (Re<1) é razoável:
\mathrm{Re}=\frac{\rho_f\,v_t\,d}{\mu}.
Na condição crítica v_t=U, então \mathrm{Re}=\dfrac{\rho_f\,U\,d_c}{\mu}. Se \mathrm{Re}\lesssim 1 Stokes vale.

Passo 3

Cálculo do diâmetro crítico para cada mineral.
Primeiro, valores constantes numéricos:
\mu=0,0085\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)},\qquad U=0,3\\ \mathrm{cm/s},\qquad g=981\\ \mathrm{cm/s^2}.
Para a galena ( \rho_p=\rho_g=7\\ \mathrm{g/cm^3}, \varphi=0,7):
\Delta\rho_g=\rho_g-\rho_f=7-1=6\\ \mathrm{g/cm^3}.
d_{c,g}=\sqrt{\frac{18\cdot 0,0085\cdot 0,3}{6\cdot 981\cdot 0,7}}.
Faço as contas passo a passo:
\text{numerador}=18\cdot 0,0085\cdot 0,3=0,0459,
\text{denominador}=6\cdot 981\cdot 0,7=4120{,}2,
\frac{\text{num}}{\text{den}}=\frac{0,0459}{4120{,}2}=1{,}114\times 10^{-5},
d_{c,g}=\sqrt{1{,}114\times 10^{-5}}=0{,}003338\\ \mathrm{cm}=33{,}38\\ \mu\mathrm{m}.
Para o calcário ( \rho_p=\rho_c=2,6\\ \mathrm{g/cm^3}, \varphi=0,7):
\Delta\rho_c=\rho_c-\rho_f=2{,}6-1=1{,}6\\ \mathrm{g/cm^3}.
d_{c,c}=\sqrt{\frac{18\cdot 0,0085\cdot 0,3}{1{,}6\cdot 981\cdot 0,7}}.
Cálculos:
\text{denominador}=1{,}6\cdot 981\cdot 0,7=1098{,}72,
\frac{\text{num}}{\text{den}}=\frac{0,0459}{1098{,}72}=4{,}177\times 10^{-5},
d_{c,c}=\sqrt{4{,}177\times 10^{-5}}=0{,}006463\\ \mathrm{cm}=64{,}63\\ \mu\mathrm{m}.
Verificação do regime de Stokes (Reynolds) nas condições críticas:
  • Para calcário (maior d_c), \mathrm{Re}_c=\dfrac{\rho_f\,U\,d_{c,c}}{\mu}=\dfrac{1\cdot 0,3\cdot 0{,}006463}{0{,}0085}\approx 0{,}23, que é menor que 1, então Stokes é aceitável. Para galena será ainda menor. Logo a aproximação é válida.
Interpretação: partículas com d<d_{c} serão arrastadas pela corrente ascendente; com d>d_c tendem a sedimentar. Assim:
  • Para galena: arrastadas se d<33{,}38\\ \mu\mathrm{m}.
  • Para calcário: arrastadas se d<64{,}63\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 4

Transformar a distribuição granulométrica acumulada y(\%) em frações de massa por faixa (classes) e identificar que fração de cada classe será arrastada para cada mineral.
Tabela acumulada y(\%):
  • d=20\\ \mu\mathrm{m}: y=12\% (ou seja, 12\% da amostra tem d\le 20\\ \mu\mathrm{m}).
  • d=30: y=20\%.
  • d=40: y=31\%.
  • d=50: y=38\%.
  • d=60: y=55\%.
  • d=70: y=67\%.
  • d=80: y=90\%.
  • d=100: y=92\%.
Faço as classes e suas frações de massa (diferenças entre acumulados) em porcentagem do total:
  • Classe 1: \le20\\ \mu\mathrm{m} : 12\%.
  • Classe 2: 20\!-\!30\\ \mu\mathrm{m} : 20-12=8\%.
  • Classe 3: 30\!-\!40\\ \mu\mathrm{m} : 31-20=11\%.
  • Classe 4: 40\!-\!50\\ \mu\mathrm{m} : 38-31=7\%.
  • Classe 5: 50\!-\!60\\ \mu\mathrm{m} : 55-38=17\%.
  • Classe 6: 60\!-\!70\\ \mu\mathrm{m} : 67-55=12\%.
  • Classe 7: 70\!-\!80\\ \mu\mathrm{m} : 90-67=23\%.
  • Classe 8: 80\!-\!100\\ \mu\mathrm{m} : 92-90=2\%.
  • Classe 9: >100\\ \mu\mathrm{m} : 100-92=8\% (classe residual acima de 100).
Verificação: soma = 12+8+11+7+17+12+23+2+8=100\%.
Agora determinar, para cada mineral, quais frações (em % da amostra total) são arrastadas:
Para a galena (limite d_{c,g}=33{,}38\\ \mu\mathrm{m}):
  • Classes totalmente arrastadas: classe 1 ( \le 20) e classe 2 (20–30), total 12+8=20\%.
  • Classe 3 (30–40) é parcialmente arrastada: a fração dentro da classe até 33{,}38\\ \mu\mathrm{m} é
\frac{33{,}38-30}{40-30}=\frac{3{,}38}{10}=0{,}338.
Logo da classe 3 (que tem 11\% da massa total), a porção arrastada é 11\%\cdot 0{,}338=3{,}718\%.
  • Classes com diâmetro maior que 33{,}38\\ \mu\mathrm{m} não são arrastadas para a galena.
Portanto a fração da amostra arrastada que corresponde àquelas partículas no tamanho de galena é
f_{\text{amostra, arrastada para galena}}=20\%+3{,}718\%=23{,}718\%.
Para o calcário (limite d_{c,c}=64{,}63\\ \mu\mathrm{m}):
  • Classes totalmente arrastadas: classes 1 a 5 (até 60 \mum), soma 12+8+11+7+17=55\%.
  • Classe 6 (60–70) é parcialmente arrastada: fração dentro da classe até 64{,}63\\ \mu\mathrm{m} é
\frac{64{,}63-60}{70-60}=\frac{4{,}63}{10}=0{,}463.
Da classe 6 (12% da massa total), a porção arrastada é 12\%\cdot 0{,}463=5{,}556\%.
  • Classes acima de 64,63 \mum não são arrastadas para o calcário.
Portanto a fração da amostra arrastada que corresponde às partículas no tamanho de calcário é
f_{\text{amostra, arrastada para calcário}}=55\%+5{,}556\%=60{,}556\%.á
Observação importante de interpretação: essas frações ( 23{,}718\% e 60{,}556\%) são frações da amostra total que correspondem a tamanhos que, se forem galena (no primeiro caso) ou calcário (no segundo), serão arrastados. Como a distribuição granulométrica é a mesma para os dois materiais, a massa de galena em categorias arrastáveis é simplesmente 0,4 (fração mássica inicial de galena) vezes 23{,}718\% (fração da amostra que está em tamanhos pequenos o suficiente para galena ser arrastada). Analogamente para o calcário.

Passo 5

Calcular massas absolutas (fracionárias) arrastadas de cada mineral e composição do arraste.
Tomando massa total da amostra igual a 1 (unidade arbitrária), então:
  • Massa inicial de galena M_g^{(0)}=0{,}4.
  • Massa inicial de calcário M_c^{(0)}=0{,}6.
Massa de galena arrastada:
M_{g,\text{arr}}=M_g^{(0)}\times \frac{23{,}718}{100}=0{,}4\times 0{,}23718=0{,}094872.
Massa de calcário arrastada:
M_{c,\text{arr}}=M_c^{(0)}\times \frac{60{,}556}{100}=0{,}6\times 0{,}60556=0{,}363336.
Massa total arrastada:
M_{\text{arr}}=M_{g,\text{arr}}+M_{c,\text{arr}}=0{,}094872+0{,}363336=0{,}458208.
Portanto a porcentagem de galena no material arrastado (por massa) é:
\%\\ \text{galena no arrastado}=\frac{M_{g,\text{arr}}}{M_{\text{arr}}}\times 100 =\frac{0{,}094872}{0{,}458208}\times 100\approx 20{,}72\%.
Agora o produto de fundo (não arrastado):
  • Massa total no fundo M_{\text{fundo}}=1-M_{\text{arr}}=1-0{,}458208=0{,}541792.
  • Massa de galena no fundo M_{g,\text{fundo}}=M_g^{(0)}-M_{g,\text{arr}}=0{,}4-0{,}094872=0{,}305128.
Portanto a porcentagem de galena no produto de fundo é:
\%\\ \text{galena no fundo}=\frac{M_{g,\text{fundo}}}{M_{\text{fundo}}}\times 100 =\frac{0{,}305128}{0{,}541792}\times 100\approx 56{,}34\%.

Passo 6

Breve revisão dos resultados e incentivo (resumo prático):
  • O critério é simples: para cada mineral calculei o diâmetro máximo que o fluxo consegue arrastar e comparei com a distribuição por tamanho. Parti a distribuição em classes e tratei frações parciais das classes que cruzam o diâmetro crítico por interpolação linear. Em seguida usei a fração inicial mássica de cada mineral (0,4 e 0,6) para obter a massa arrastada de cada um. Tudo consistente com o regime de Stokes (Re<1), então os resultados são confiáveis para a aproximação feita.
  • Força na barba: a mistura arrastada ficou relativamente pobre em galena (aprox. 20{,}7\%), enquanto o produto de fundo ficou enriquecido em galena (aprox. 56{,}3\%). Isso faz sentido físico porque a galena é mais densa e, para o mesmo diâmetro, tende a sedimentar mais facilmente que o calcário.

Resposta

Porcentagem de galena no material arrastado: 20{,}72\%
Porcentagem de galena no produto de fundo: 56{,}34\%

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