Uma mistura finamente dividida de galena e calcário, na proporção
em peso, é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água (
e
) de
. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma (tabela abaixo). Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo.
DADOS:
.
20
30
40
50
60
70
80
100
12
20
31
38
55
67
90
92
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20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
|
|
12 | 20 | 31 | 38 | 55 | 67 | 90 | 92 |
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a porcentagem de galena no material arrastado pela corrente ascendente (produto de saída superior).
- Calcular a porcentagem de galena no produto de fundo (resíduo que não foi arrastado).
Informações fornecidas (peguei todos estes dados do enunciado):
- Razão em peso da mistura: galena : calcário =
. Logo a fracção mássica inicial de galena é e de calcário é . - Propriedades do fluido (água):
, . - Velocidade ascendente da corrente:
. - Dados das partículas:
- Galena:
, esfericidade . - Calcário:
, esfericidade .
- Galena:
- Distribuição granulométrica (assumo que
é porcentagem acumulada em massa mais fina que ): -
( m): 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 100 -
: 12, 20, 31, 38, 55, 67, 90, 92
-
Observações que já definimos:
- Vou usar a lei de Stokes (regime de baixíssimo número de Reynolds) com correção de esfericidade (mesma
para ambos). Primeiro encontrarei o diâmetro crítico para cada mineral tal que a velocidade terminal . Partículas com são arrastadas; partículas com sedimentam (ficam no fundo). - Transformarei a distribuição acumulada em frações de massa por classe (entre os diâmetros apresentados) para calcular quanto de cada mineral está em cada classe.
Passo 2
Princípio físico e fórmula usada (aula curta e prática):
- Em regime laminar (Re pequeno) a velocidade terminal de uma partícula aproximadamente esférica é dada pela lei de Stokes (com correção de esfericidade). A forma usada aqui é
onde:
-
é a densidade da partícula ( ); -
é a densidade do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade; usarei ; -
é o diâmetro da partícula (em ); -
é a esfericidade (adimensional, ); valores menores reduzem a velocidade; -
é a viscosidade dinâmica do fluido em . -
Para obter o diâmetro crítico
(tal que ) isolamos :
- Antes de aplicar, faço conversões e justificativas:
-
. - Velocidade
já está em . - Vou verificar ao final o número de Reynolds na condição crítica para garantir que o uso de Stokes (Re<1) é razoável:
-
Na condição crítica
, então
. Se
Stokes vale.
Passo 3
Cálculo do diâmetro crítico para cada mineral.
Primeiro, valores constantes numéricos:
Para a galena (
,
):
Faço as contas passo a passo:
Para o calcário (
,
):
Cálculos:
Verificação do regime de Stokes (Reynolds) nas condições críticas:
- Para calcário (maior
), , que é menor que 1, então Stokes é aceitável. Para galena será ainda menor. Logo a aproximação é válida.
Interpretação: partículas com
serão arrastadas pela corrente ascendente; com
tendem a sedimentar. Assim:
- Para galena: arrastadas se
. - Para calcário: arrastadas se
.
Passo 4
Transformar a distribuição granulométrica acumulada
em frações de massa por faixa (classes) e identificar que fração de cada classe será arrastada para cada mineral.
Tabela acumulada
:
-
: (ou seja, da amostra tem ). -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Faço as classes e suas frações de massa (diferenças entre acumulados) em porcentagem do total:
- Classe 1:
: . - Classe 2:
: . - Classe 3:
: . - Classe 4:
: . - Classe 5:
: . - Classe 6:
: . - Classe 7:
: . - Classe 8:
: . - Classe 9:
: (classe residual acima de 100).
Verificação: soma =
.
Agora determinar, para cada mineral, quais frações (em % da amostra total) são arrastadas:
Para a galena (limite
):
- Classes totalmente arrastadas: classe 1 (
) e classe 2 (20–30), total . - Classe 3 (30–40) é parcialmente arrastada: a fração dentro da classe até
é
Logo da classe 3 (que tem
da massa total), a porção arrastada é
.
- Classes com diâmetro maior que
não são arrastadas para a galena.
Portanto a fração da amostra arrastada que corresponde àquelas partículas no tamanho de galena é
Para o calcário (limite
):
- Classes totalmente arrastadas: classes 1 a 5 (até 60
m), soma . - Classe 6 (60–70) é parcialmente arrastada: fração dentro da classe até
é
Da classe 6 (12% da massa total), a porção arrastada é
.
- Classes acima de 64,63
m não são arrastadas para o calcário.
Portanto a fração da amostra arrastada que corresponde às partículas no tamanho de calcário é
Observação importante de interpretação: essas frações (
e
) são frações da amostra total que correspondem a tamanhos que, se forem galena (no primeiro caso) ou calcário (no segundo), serão arrastados. Como a distribuição granulométrica é a mesma para os dois materiais, a massa de galena em categorias arrastáveis é simplesmente
(fração mássica inicial de galena) vezes
(fração da amostra que está em tamanhos pequenos o suficiente para galena ser arrastada). Analogamente para o calcário.
Passo 5
Calcular massas absolutas (fracionárias) arrastadas de cada mineral e composição do arraste.
Tomando massa total da amostra igual a
(unidade arbitrária), então:
- Massa inicial de galena
. - Massa inicial de calcário
.
Massa de galena arrastada:
Massa de calcário arrastada:
Massa total arrastada:
Portanto a porcentagem de galena no material arrastado (por massa) é:
Agora o produto de fundo (não arrastado):
- Massa total no fundo
- Massa de galena no fundo
Portanto a porcentagem de galena no produto de fundo é:
Passo 6
Breve revisão dos resultados e incentivo (resumo prático):
- O critério é simples: para cada mineral calculei o diâmetro máximo que o fluxo consegue arrastar e comparei com a distribuição por tamanho. Parti a distribuição em classes e tratei frações parciais das classes que cruzam o diâmetro crítico por interpolação linear. Em seguida usei a fração inicial mássica de cada mineral (0,4 e 0,6) para obter a massa arrastada de cada um. Tudo consistente com o regime de Stokes (Re<1), então os resultados são confiáveis para a aproximação feita.
- Força na barba: a mistura arrastada ficou relativamente pobre em galena (aprox.
), enquanto o produto de fundo ficou enriquecido em galena (aprox. ). Isso faz sentido físico porque a galena é mais densa e, para o mesmo diâmetro, tende a sedimentar mais facilmente que o calcário.
Resposta
Porcentagem de galena no material arrastado:
Porcentagem de galena no produto de fundo: