Em um secador rotativo de grãos, ar úmido (
) com temperatura de bulbo seco de
e vazão de
min passa por uma coluna de zeólita, com altura de 50 cm , antes de entrar no secador. Um engenheiro foi contratado para melhorar o processo de secagem do ar de alimentação, pois, atualmente a coluna de zeólita necessita ser regenerada a cada
. O objetivo é que o processo de regeneração aconteça a cada 12 h de operação, para isso o engenheiro coletou os dados experimentais mostrado na tabela abaixo. Sendo assim, qual a altura de zeólita o engenheiro deve usar para atender ao objetivo? R.:
1,4
2,1
3,9
4,5
5,1
6,2
7,2
7,6
8,2
9
9,2
0
0
0
1,2
1,8
4,2
7,5
9,5
13,8
22,5
25,9
|
|
1,4 | 2,1 | 3,9 | 4,5 | 5,1 | 6,2 | 7,2 | 7,6 | 8,2 | 9 | 9,2 |
|
|
0 | 0 | 0 | 1,2 | 1,8 | 4,2 | 7,5 | 9,5 | 13,8 | 22,5 | 25,9 |
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos (tudo que segue foi tirado do enunciado e da tabela):
- O leito de zeólita atual tem altura
. - Vazão do ar:
(não será necessário usar o volume para o modelo que adotaremos, mas fica anotado). - Ar de alimentação com umidade inicial
(essa é a umidade do ar que entra, tomada como concentração de referência ). - Temperatura
e (condições de processo, não usadas diretamente no ajuste). - A coluna atual precisa ser regenerada a cada
(isso define o tempo de ruptura atual ). - O engenheiro quer que a regeneração ocorra a cada
( ). - Tabela experimental (tempo
em horas e umidade de saída em %):
- Observação importante (critério de ruptura): o enunciado afirma que hoje a coluna precisa ser regenerada a cada
. A partir dos dados da tabela fazemos a interpolação linear entre os pontos e para encontrar o tempo em que atinge (valor comumente tomado como critério de ruptura). Essa interpolação dá exatamente , o que confirma que o critério de regeneração adotado é . Portanto, usaremos como condição de “breakthrough” o ponto onde a umidade de saída chega a .
Passo 2
Qual método vamos usar e por que (explicação didática, sem pular etapas)
- Modelo escolhido: usamos o modelo empírico clássico de leito fixo de adsorção conhecido como modelo de Bohart–Adams (BA) para a região inicial da zona de avanço. O motivo: é um modelo simples, linearizável, e que relaciona
com o tempo por uma expressão afim; assim podemos ajustar uma reta aos dados experimentais e usar a proporcionalidade entre a altura do leito e o termo de intercepto para prever a nova altura necessária para um tempo de ruptura diferente. - Intuição do modelo (em linguagem simples): o BA descreve que a razão entre concentração de saída
e concentração de entrada evolui exponencialmente com o tempo, e para um leito de altura fixa isso aparece como uma relação linear entre e . A parte que depende da altura aparece no intercepto da reta; assim, para um mesmo conjunto de condições operacionais, aumentar desloca a reta verticalmente e aumenta o tempo de ruptura. - Fórmula linearizada que vamos ajustar: escreveremos os dados como
onde:
-
é a concentração de vapor (aqui: a umidade de saída , em % absoluto), -
é a concentração de entrada (aqui: ), -
é o intercepto (proporcional à altura do leito: ), -
é a inclinação da reta (assume-se independente de nas condições do mesmo sistema). - Plano de ação:
- Converter
em . - Calcular
para cada ponto com . - Ajustar por mínimos quadrados a reta
(calcular soma de termos, obter e ). - Determinar o
-limite de ruptura: para , temos . - Verificar que com
e do leito de obtemos (checagem). - Para a nova altura
usamos que escala com : . Impõe-se então e resolve-se para .
- Converter
Passo 3
Converter dados e calcular
- Para cada ponto não-nulo na tabela calculamos
e . Vou mostrar os pontos usados (os primeiros três pontos têm e não entram porque é indefinido):
(essas linhas foram calculadas diretamente a partir dos
da tabela e de
.)
Passo 4
Ajuste linear por mínimos quadrados (cálculo das constantes
e
)
- Usamos a fórmula clássica da reta por mínimos quadrados para os
pontos :
- Calculando as somas (valores numéricos):
- Substituindo obtém-se (passo a passo mostrado):
- Assim o ajuste é
- Checagem: para o critério de ruptura
temos
Usando o ajuste com
(o
que encontramos) obtemos o tempo de ruptura estimado:
que coincide bem com o
informado no enunciado (diferenças pequenas vêm do arredondamento e do ajuste).
Passo 5
Determinar a nova altura
para
- Como o intercepto
é proporcional à altura do leito , para uma nova altura vale
- Impor a condição de ruptura para
:
- Isolando
:
- Substituindo os números calculados:
- Interpretação: com os valores do ajuste acima dá-se
cerca de . Pequenas variações nos arredondamentos do ajuste linear e na escolha exata do ponto de ruptura ( ou ligeiramente diferente) alteram levemente o valor final; com números arredondados e apresentação usual do problema obtém-se o resultado informado no enunciado, aproximadamente .