Uma mistura gasosa contendo \mathrm{CO}, \mathrm{CO}_{2}, \mathrm{CH}_{4} e \mathrm{N}_{2} é analisada com um cromatógrafo a gás. A saída aparece em um monitor de computador, como mostrado aqui. Para cada uma das três espécies, a área embaixo do pico é aproximadamente proporcional ao número de mols da substância indicada na amostra. Através de outra análise, sabe-se que a razão molar entre o metano e o nitrogênio é 0,200.
Quais são as frações molares das quatro espécies no gás?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido):
  • Do cromatograma (peguei as áreas dos picos da figura): \mathrm{CO} tem área 40, \mathrm{CH}_{4} tem área 25 e \mathrm{CO}_{2} tem área 80.
  • A área embaixo do pico é aproximadamente proporcional ao número de mols da substância (isto é, área \propto n) — essa proporcionalidade vale explicitamente para as três espécies cujas áreas estão na figura.
  • Outra análise fornece a razão molar entre metano e nitrogênio: \dfrac{n_{\mathrm{CH}_{4}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}}=0,200.
  • O que se pede: as frações molares das quatro espécies no gás (isto é, x_{\mathrm{CO}}, x_{\mathrm{CO}_{2}}, x_{\mathrm{CH}_{4}}, x_{\mathrm{N}_{2}}).

Passo 2

Entendendo a ideia física e a definição que vamos usar (aula rápida e direta):
  • Se a área do pico é proporcional ao número de mols, podemos escrever para cada espécie que aparece no cromatograma \text{Área}_i = k\,n_iÁ, onde k é a constante de proporcionalidade (a mesma unidade para as espécies mostradas). Aqui n_i é o número de mols da espécie i.
  • A fração molar de uma espécie i é definida como
x_i=\frac{n_i}{n_{\text{total}}},
onde n_{\text{total}}=\sum_{j} n_j é a soma dos mols de todas as espécies presentes.
  • Estratégia prática: como as áreas são proporcionais aos mols, podemos usar as áreas (ou um múltiplo delas) como números relativos de mols para \mathrm{CO},\mathrm{CH}_4,\mathrm{CO}_2. Para \mathrm{N}_2 usaremos a razão dada com o metano para determinar seu número de mols relativo.

Passo 3

Converter as áreas em números relativos de mols (escolha conveniente):
  • Vou escolher a unidade relativa tal que o número de mols seja igual à área para as espécies do cromatograma (isso é equivalente a tomar k=1 nas unidades relativas). Assim tomo:
n_{\mathrm{CO}}=40,\qquad n_{\mathrm{CH}_{4}}=25,\qquad n_{\mathrm{CO}_{2}}=80.
Explicação curta: isto não é assumir um número absoluto de mols, é só fixar uma escala relativa; as frações molares são inalteradas por essa escolha de escala.

Passo 4

Usar a razão dada para obter n_{\mathrm{N}_{2}}:
  • Do enunciado temos \dfrac{n_{\mathrm{CH}_{4}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}}=0,200. Isolando n_{\mathrm{N}_{2}} obtemos
n_{\mathrm{N}_{2}}=\frac{n_{\mathrm{CH}_{4}}}{0,200}=5\,n_{\mathrm{CH}_{4}}.
  • Usando n_{\mathrm{CH}_{4}}=25 (da escolha anterior),
n_{\mathrm{N}_{2}}=5\times 25=125.

Passo 5

Calcular o total de mols (na escala relativa que escolhemos):
n_{\text{total}}=n_{\mathrm{CO}}+n_{\mathrm{CH}_{4}}+n_{\mathrm{CO}_{2}}+n_{\mathrm{N}_{2}}=40+25+80+125=270.

Passo 6

Calcular as frações molares dividindo cada n_i pelo total e apresentar em forma fracionária exata e em decimal arredondado (3 casas decimais):
  • Para \mathrm{CO}:
x_{\mathrm{CO}}=\frac{40}{270}=\frac{4}{27}\approx 0,148.
  • Para \mathrm{CH}_{4}:
x_{\mathrm{CH}_{4}}=\frac{25}{270}=\frac{25}{270}\approx 0,093.
(veja que \dfrac{25}{270}=0,092592\ldots, arredondei para 0,093).
  • Para \mathrm{CO}_{2}:
x_{\mathrm{CO}_{2}}=\frac{80}{270}=\frac{8}{27}\approx 0,296.
  • Para \mathrm{N}_{2}:
x_{\mathrm{N}_{2}}=\frac{125}{270}=\frac{25}{54}\approx 0,463.

Passo 7

Cheque rápido (para garantir que você não errou na pressa da prova):
  • Soma das frações:
0,148+0,093+0,296+0,463\approx 1,000\quad(\text{pequeno erro de arredondamento}),
o que confirma consistência.
  • Cheque da razão \dfrac{n_{\mathrm{CH}_{4}}}{n_{\mathrm{N}_{2}}}: usando os números relativos 25/125=0,200, que coincide com a razão dada.

Resposta

\mathrm{CO}:\;x_{\mathrm{CO}}=\dfrac{40}{270}=\dfrac{4}{27}\approx 0,148\n
\mathrm{CO}_{2}:\;x_{\mathrm{CO}_{2}}=\dfrac{80}{270}=\dfrac{8}{27}\approx 0,296\n
\mathrm{CH}_{4}:\;x_{\mathrm{CH}_{4}}=\dfrac{25}{270}\approx 0,093\n
\mathrm{N}_{2}:\;x_{\mathrm{N}_{2}}=\dfrac{125}{270}=\dfrac{25}{54}\approx 0,463

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