Para o mesmo modelo anterior, considere que o veículo está se movendo em uma via que possui um comprimento de onda (distância entre picos) de 20 metros e amplitude de 0,08 metros. Para um amortecimento estimado em c_{s}=332[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], determine a amplitude da resposta estacionária do carro ( X_{s} ) se a velocidade do veículo for:
(b) 100[\mathrm{~km} / \mathrm{h}];

Passo 1

O enunciado pede: determinar a amplitude da resposta estacionária do carro, X_{s}, quando a velocidade do veículo é 100\,[\mathrm{km}/\mathrm{h}].\n
As informações dadas no enunciado são:
\text{amplitude da irregularidade do piso } A_{p}=0{,}08\\ \mathrm{m},
\text{comprimento de onda } \lambda=20\\ \mathrm{m},
\text{amortecimento estimado } c_{s}=332\\ [\mathrm{Ns}/\mathrm{m}],
\text{velocidade do veículo } v=100\\ [\mathrm{km}/\mathrm{h}].í
Observação importante: o enunciado refere-se a “mesmo modelo anterior”. Para calcular numericamente X_{s} é necessário também conhecer a massa do veículo (ou da massa suspensa) \;m\; e a rigidez da suspensão \;k\;. Esses valores não foram fornecidos aqui; portanto estão faltando dados essenciais para obter um valor numérico definitivo de X_{s}.

Passo 2

Converto a velocidade para metros por segundo, porque todas as fórmulas dinâmicas usam unidades SI:
v = 100\\ \mathrm{\frac{km}{h}} = \frac{100\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{\frac{m}{s}} = 27{,}777\ldots\\ \mathrm{\frac{m}{s}}.
Para facilitar, usarei v=27{,}78\\ \mathrm{m/s} arredondando a 2 casas decimais quando for conveniente.

Passo 3

Calculo a frequência angular da excitação provocada pela irregularidade do solo. A irregularidade espacial é senoidal com comprimento de onda \lambda; ao deslocar-se com velocidade v o veículo “vê” uma excitação temporal com frequência:
f = \frac{v}{\lambda}\quad\text{(em Hz)},
\Omega = 2\pi f = 2\pi\frac{v}{\lambda}\quad\text{(em rad/s)}.
Substituindo os números conhecidos:
f=\frac{27{,}777\ldots}{20}=1{,}388888\ldots\\ \mathrm{Hz},
\Omega = 2\pi\cdot 1{,}388888\ldots = 8{,}726646\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Vou usar \Omega\approx 8{,}72665\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Apresento a equação do movimento para o modelo massa-mola-amortecedor submetido a excitação do solo (base excitation). Seja x(t) o deslocamento absoluto da massa m e y(t) o deslocamento do solo; definimos o deslocamento relativo x_{r}(t)=x(t)-y(t). A equação do movimento relativa é
m\ddot{x}_{r}+c\dot{x}_{r}+k x_{r} = -\,m\ddot{y}(t).
Se o solo tem movimento senoidal espacial que, ao ser visto no tempo pelo veículo, é
y(t)=A_{p}\sin(\Omega t),
então
\ddot{y}(t) = -A_{p}\Omega^{2}\sin(\Omega t).
A resposta estacionária de regime permanente será também senoidal na frequência \Omega, do tipo x_{r}(t)=X_{r}\sin(\Omega t-\varphi). A amplitude X_{r} da resposta relativa em regime permanente (atributo que normalmente se refere à “amplitude do carro”) é dada pela fórmula conhecida (obtida resolvendo a equação para regime permanente):
X_{r} = \frac{m\,A_{p}\,\Omega^{2}}{\sqrt{(k-m\Omega^{2})^{2}+(c\,\Omega)^{2}}}.
Explico cada termo:
  • m é a massa (kg) da porção do veículo modelada;
  • A_{p} é a amplitude da irregularidade do solo (m);
  • \Omega é a frequência angular da excitação (rad/s) calculada no passo anterior;
  • k é a rigidez da suspensão (N/m);
  • c é o coeficiente de amortecimento (Ns/m), aqui dado c=c_{s}=332\\ \mathrm{Ns/m};
  • o numerador mA_{p}\Omega^{2} vem de transformar a aceleração do solo em uma força efetiva m\ddot{y};
  • o denominador é o módulo da impedância dinâmica do sistema na frequência \Omega.
Observação didática: muitas referências também usam a forma normalizada em termos de frequência natural \omega_{n}=\sqrt{k/m} e coeficiente de amortecimento adimensional \zeta=c/(2m\omega_{n}). A forma normalizada (razão entre amplitude relativa e amplitude da base) é
\frac{X_{r}}{A_{p}} = \frac{r^{2}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2} + (2\zeta r)^{2}}},\quad\text{onde } r=\frac{\Omega}{\omega_{n}}.
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende de quais parâmetros você conhece.

Passo 5

Substituo os valores que temos na expressão simbólica. Como c e A_{p} são conhecidos e \Omega foi calculado, a expressão fica:
X_{r} = \frac{m\cdot 0{,}08\cdot (8{,}72665)^{2}}{\sqrt{(k-m(8{,}72665)^{2})^{2} + (332\cdot 8{,}72665)^{2}}}.
Isto é uma expressão explícita para X_{r}, mas ainda depende de m e k. Portanto não é possível obter um número final sem esses dois parâmetros.

Passo 6

Para deixar claro como aplicar na prova: se você tiver os valores de m e k, proceda assim:
  1. calcule \Omega como no Passo 3;
  2. calcule m\Omega^{2} e c\Omega;
  3. calcule o denominador \sqrt{(k-m\Omega^{2})^{2}+(c\Omega)^{2}};
  4. calcule X_{r}=\dfrac{mA_{p}\Omega^{2}}{\text{denominador}}.
Dou um exemplo numérico ilustrativo (ATENÇÃO: isto é apenas um exemplo, usando valores hipotéticos de m e k; não confunda com a resposta do seu enunciado que carece desses dados):
  • suponha m=300\\ \mathrm{kg} e k=15{,}000\\ \mathrm{N/m} (valores típicos ilustrativos),
  • então \Omega\approx 8{,}72665\\ \mathrm{rad/s},
  • m\Omega^{2}=300\cdot(8{,}72665)^{2}\approx 22{,}839{,}8,
  • c\Omega=332\cdot 8{,}72665\approx 2{,}898{,}6,
  • k-m\Omega^{2}=15{,}000-22{,}839{,}8\approx -7{,}839{,}8,
  • denominador \sqrt{(-7{,}839{,}8)^{2}+(2{,}898{,}6)^{2}}\approx 8{,}360{,}6,
  • numerador mA_{p}\Omega^{2}=22{,}839{,}8\cdot 0{,}08\approx 1{,}827{,}18,
  • assim X_{r}\approx \dfrac{1{,}827{,}18}{8{,}360{,}6}\approx 0{,}2185\\ \mathrm{m} (exemplo).
Esse exemplo mostra o procedimento passo a passo que você aplicaria na prova se soubesse m e k. Note que o valor exemplo é maior que a amplitude do solo 0{,}08\\ \mathrm{m}: isso pode acontecer perto de condições de ressonância (quando \Omega fica comparável a \omega_{n}).

Passo 7

Conclusão e conselho prático para a prova: a fórmula certa para usar é
X_{s}\;(\text{ou }X_{r}) \;=\; \frac{m\,A_{p}\,\Omega^{2}}{\sqrt{(k-m\Omega^{2})^{2}+(c\,\Omega)^{2}}}
com \Omega=2\pi v/\lambda. Para obter o valor numérico pedido no item (b) você deve inserir nessa fórmula os valores numéricos de m e k do modelo anterior (que não foram fornecidos aqui). Siga os passos do Passo 6 na prova; se o professor te der m e k será uma conta direta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente X_{s} porque faltam os valores de m (massa) e k (rigidez).

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