Para o mesmo modelo anterior, considere que o veículo está se movendo em uma via que possui um comprimento de onda (distância entre picos) de 20 metros e amplitude de 0,08 metros. Para um amortecimento estimado em
, determine a amplitude da resposta estacionária do carro (
) se a velocidade do veículo for:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a amplitude da resposta estacionária do carro
quando o veículo passa por uma superfície senoidal com as seguintes informações dadas:
Pergunta solicitada: determinar a amplitude da resposta estacionária do carro
para a velocidade acima.
Informações relevantes que estão faltando (necessárias para um cálculo numérico): massa do veículo associada ao grau de liberdade considerado (por exemplo, massa equivalente do eixo dianteiro/traseiro ou massa por quarto do veículo)
e rigidez da suspensão
(ou, alternativamente, a frequência natural
e a razão de amortecimento
). Sem esses parâmetros não é possível obter um valor numérico único para
. A resolução seguirá mostrando a teoria, a fórmula final e como calcular numericamente caso você tenha
e
(ou
e
).
Passo 2
Calcular a frequência de excitação
gerada pela estrada senoidal quando o veículo passa a velocidade dada.
Primeiro convertemos a velocidade para
:
A frequência de passagem de picos (frequência em Hz) é dada por
Substituindo,
A pulsação (frequência angular) é
(Guarde
; usaremos esse valor na fórmula.)
Passo 3
Modelagem física e equação do movimento (explicação didática).
Considere o modelo SDOF (um grau de liberdade) para o carro sujeito à excitação de base (a estrada). Seja
o deslocamento absoluto da massa
(carro), e
o deslocamento da base (estrada). A suspensão tem amortecimento
(aqui
) e rigidez
. A equação de movimento, obtida por balanço de forças, é:
Essa forma diz: massa vezes aceleração + força de amortecimento relativa + força da mola relativa = zero. Reorganizando para ter termos em
no lado esquerdo:
Para excitação senoidal da estrada, escolhemos
onde
é a amplitude da estrada (aqui
) e
a pulsação calculada no passo anterior.
Procuramos a resposta estacionária em regime forçado para
na forma senoidal:
. A maneira mais prática é usar números complexos (representação fasorial) e obter a função de transferência entre entrada (base) e saída (massa).
Passo 4
Derivação da relação de amplitude (transferência) entre a base e a massa.
Aplicando a análise fasorial (representando
por
e trabalhando com coeficientes complexos), obtemos a função de transferência complexa entre o deslocamento da base
e o deslocamento absoluto da massa
:
Explicação intuitiva: o numerador
vem do lado direito da equação (força aplicada pela base), o denominador
é a impedância dinâmica do sistema massa-mola-amortecedor.
A razão de amplitudes (módulo da função de transferência) é então
Portanto a amplitude estacionária absoluta
(amplitude de
) é
Aqui:
-
é amplitude da estrada ( ); -
é o amortecimento ( ); -
é a massa equivalente (faltando no enunciado); -
é a rigidez da suspensão (faltando no enunciado); -
é a pulsação de excitação ( ).
Passo 5
Forma alternativa (muito prática para provas): expressar a razão em termos da frequência natural
e da razão de amortecimento
.
Defina a frequência natural
e a razão de amortecimento
Defina também a razão entre frequências
Ao substituir
e
na expressão de
e simplificar por
, obtemos a forma adimensional:
Assim
Essa forma é muito útil porque, conhecendo apenas
e
(parâmetros frequentemente fornecidos para suspensões), você consegue calcular
sem precisar de
e
separadamente. Lembre-se que
e já temos
do passo 2.
Passo 6
Aplicação numérica parcial com os valores conhecidos e conclusão sobre o que falta.
Temos os valores numéricos conhecidos:
A expressão numérica direta, deixando
e
simbólicos, é
Sem valores numéricos para
e
(ou para
e
) não há como simplificar isso para um número único. Portanto o procedimento correto na prova será:
- calcular
como no Passo 2; - usar a fórmula do Passo 4 (ou a forma adimensional do Passo 5) e inserir os valores de
e (ou e ) fornecidos no enunciado para obter .
Se você me der
e
(ou
e
), eu faço o cálculo numérico completo e explico passo a passo com números. Força aí — isso vai ficar claro rapidinho!
Resposta
Não é possível determinar numericamente
pois faltam
e
(ou
e
). A expressão geral é: