O modelo atômico de Rutherford sugere que os elétrons orbitam o núcleo do átomo, semelhante a planetas em torno do Sol, devido à atração eletrostática entre o núcleo positivo e os elétrons negativos.
a) Utilize a equação de Rutherford para calcular o raio da órbita do elétron em um átomo de hidrogênio, assumindo que o elétron está se movendo com uma velocidade de 2,19 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere a carga do elétron \mathrm{e}=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e a massa do elétron me =9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}.
b) Compare o raio calculado utilizando a equação de Rutherford com o raio de Bohr para o mesmo átomo. Explique qualquer diferença entre os valores obtidos.
c) Discuta as limitações do modelo de Rutherford em descrever o comportamento dos elétrons em átomos de elementos mais complexos.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as perguntas abaixo.
Dados fornecidos:
  • velocidade do elétron: v = 2{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{m/s};
  • carga do elétron: e = 1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
  • massa do elétron: m_e = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • constante eletrostática de Coulomb (valor a usar): k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Perguntas:
a) Usar a “equação de Rutherford” para calcular o raio da órbita do elétron no átomo de hidrogênio com os dados acima.
b) Comparar o raio obtido com o raio de Bohr para o átomo de hidrogênio e explicar diferenças.
c) Discutir limitações do modelo de Rutherford para átomos mais complexos.

Passo 2

Entendendo e montando a equação: por que existe uma “equação de Rutherford” aqui?
  • Ideia física (modelo clássico): no modelo de órbita circular, a força elétrica de atração entre núcleo (carga +e) e elétron (carga -e) fornece a força centrípeta que mantém o elétron em órbita.
  • Força de Coulomb (valor absoluto): F_{\text{Coulomb}} = k\frac{e^2}{r^2}, onde r é o raio da órbita que queremos achar e k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Expliquei: e é a carga do elétron (módulo), r é a distância entre elétron e núcleo.
  • Força centrípeta necessária para uma partícula de massa m_e com velocidade v em órbita circular de raio r: F_{\text{centr}} = m_e\frac{v^2}{r}.
No equilíbrio (órbita circular estacionária no modelo clássico) igualamos as duas forças:
k\frac{e^2}{r^2} = m_e\frac{v^2}{r}.
Simplificando a equação para obter r:
k\frac{e^2}{r^2} = m_e\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad k e^2 = m_e v^2 r \quad\Longrightarrow\quad r = \dfrac{k e^2}{m_e v^2}.
Expliquei passo a passo: isolei r multiplicando ambos os lados por r^2 e dividindo por m_e v^2; a álgebra é direta.

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente, com cuidado nas potências de 10 e com explicação de cada parte.
  1. Calcular k e^2:
k e^2 = \left(8{,}988\times10^{9}\right)\left(1{,}6\times10^{-19}\right)^2.
Primeiro \left(1{,}6\times10^{-19}\right)^2 = 1{,}6^2\times10^{-38} = 2{,}56\times10^{-38}.
Então
k e^2 = 8{,}988\times10^{9}\times 2{,}56\times10^{-38} = (8{,}988\cdot2{,}56)\times10^{9-38}.
Calcule a mantissa: 8{,}988\cdot2{,}56 \approx 23{,}00928. Logo
k e^2 \approx 23{,}00928\times10^{-29} = 2{,}300928\times10^{-28}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
  1. Calcular m_e v^2:
v^2 = \left(2{,}19\times10^{6}\right)^2 = 2{,}19^2\times10^{12} = 4{,}7961\times10^{12}.
m_e v^2 = 9{,}11\times10^{-31}\times 4{,}7961\times10^{12} = (9{,}11\cdot4{,}7961)\times10^{-31+12}.
Calcule a mantissa: 9{,}11\cdot4{,}7961 \approx 43{,}696 (aproximação suficiente). Portanto
m_e v^2 \approx 43{,}696\times10^{-19} = 4{,}3696\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}.
  1. Dividir para obter r:
r = \dfrac{k e^2}{m_e v^2} \approx \dfrac{2{,}300928\times10^{-28}}{4{,}3696\times10^{-18}} = \left(\dfrac{2{,}300928}{4{,}3696}\right)\times10^{-28+18}.
A razão das mantissas: \dfrac{2{,}300928}{4{,}3696}\approx 0{,}5267. Então
r \approx 0{,}5267\times10^{-10} = 5{,}267\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (dados têm 3 algarismos significativos no v e 2–3 nos demais), podemos escrever
r \approx 5{,}27\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse valor em unidades familiares é cerca de 0{,}527\\ \text{\AA} (ângström), pois 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Comparação com o raio de Bohr e explicação da coincidência
  • O raio de Bohr (primeira órbita, n=1) é dado pela fórmula quântica:
a_0 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}\approx 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Nosso resultado clássico foi r\approx 5{,}27\times10^{-11}\\ \mathrm{m}. Esses valores são muito próximos; a diferença é pequena e deve-se basicamente a arredondamentos e à precisão numérica dos constantes usadas.
Por que ficaram tão próximos? Porque o valor da velocidade fornecido no enunciado, v=2{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}, é exatamente a velocidade orbital do elétron que o modelo de Bohr prevê para n=1. No modelo de Bohr, a quantização do momento angular m_e v r = \hbar combinada com a igualdade Coulomb = centrípeta leva a
v_{1} = \dfrac{k e^2}{\hbar}\quad\text{e}\quad a_0 = \dfrac{k e^2}{m_e v_{1}^2},
ou, de forma equivalente, ao valor numérico mostrado. Assim, se você insere a velocidade de Bohr na fórmula clássica de Rutherford, obtém o raio de Bohr — é por isso que os números batem.
Observação conceitual curta: o acordo numérico aqui não significa que o modelo clássico de Rutherford explica por que existe aquela velocidade; a explicação da velocidade e dos níveis de energia vem das regras quânticas do modelo de Bohr (e, de forma mais completa, da mecânica quântica).

Passo 5

Limitações do modelo de Rutherford (explicação didática e com exemplos simples)
  1. Instabilidade clássica:
  • Na eletrodinâmica clássica, uma carga acelerada (o elétron em órbita é uma carga acelerada) deve emitir radiação eletromagnética, perdendo energia e colapsando no núcleo. Portanto o modelo prevê átomos instáveis — o que contradiz a existência de átomos estáveis. Bohr “contornou” isso impondo condições quânticas de estabilidade (momentos angulares quantizados).
  1. Incapacidade de prever espectros finos e linhas discretas:
  • Rutherford/Clássico prevê um contínuo de energias possíveis (qualquer velocidade/raio), então não explica as linhas espectrais discretas observadas. O modelo de Bohr dá níveis discretos (apenas para hidrogênio e íons hidrogenoides funciona bem); a mecânica quântica explica espectros e intensidades com muito mais precisão.
  1. Não trata da natureza ondulatória do elétron:
  • Elétrons têm comportamento de onda; no modelo adequado (mecânica quântica) o elétron é descrito por uma função de onda e orbitais (regiões de probabilidade), não por trajetórias fixas como planetas.
  1. Problemas com átomos multi-eletrônicos:
  • Para átomos com mais de um elétron, há repulsão elétron-elétron, blindagem (screening), acoplamentos e efeitos de troca/Pauli que tornam impossível descrever corretamente a estrutura eletrônica por órbitas clássicas simples. Conceitos importantes como energia de ligação, configuração eletrônica e regras de preenchimento (Princípio de Pauli) só surgem com a mecânica quântica.
  1. Não explica efeitos de spin, estruturas finas e relativísticas:
  • Efeitos como spin do elétron, splitting fino e hiperfino das linhas espectrais requerem tratamento quântico-relativístico (equação de Dirac etc.), ausentes em Rutherford.
Resumo intuitivo: o modelo de Rutherford é útil para entender qualitativamente a existência de um núcleo pequeno e carregado e para explicar espalhamentos (backscattering), mas falha quando se trata de estabilidade, espectros e detalhamento da estrutura eletrônica — para isso é preciso Bohr e, em seguida, mecânica quântica.

Resposta

(a) r \approx 5{,}27\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
(b) O valor obtido é muito próximo do raio de Bohr a_0 \approx 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}; a coincidência ocorre porque a velocidade dada é a velocidade orbital prevista por Bohr para n=1. Diferenças são pequenas e vêm de arredondamentos e do fato de que Bohr introduz quantização (que o modelo clássico de Rutherford não explica).
(c) Limitações: modelo clássico prevê instabilidade por radiação, não explica linhas espectrais discretas nem a quantização, ignora a natureza ondulatória do elétron, não trata corretamente átomos multi‑eletrônicos (blindagem, repulsão e regras de Pauli), e não inclui efeitos de spin/relativísticos — portanto falha em descrever átomos mais complexos.

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