Um modelo bastante simplificado para o estudo de polienos conjugados é o modelo do elétron livre, que assume que os elétrons se movem em um potencial semelhante ao da partícula na caixa.
(a) Encontre as funções de onda e os níveis de energia para os sistemas abaixo, assumindo que o comprimento da caixa é dado por
, onde N é o número de átomos de carbono conjugados e
.
Pentadieno
(b) Assumindo que cada nível de energia da caixa possa ser ocupado por dois elétrons, faça uma estimativa da luz absorvida quando ocorre uma transição eletrônica do orbital molecular ocupado de maior energia (HOMO) para o horbital molecular desocupado de menor energia (LUMO). Valores experimentais: Pentadieno:
-caroteno: 450 nm .
(a) Encontre as funções de onda e os níveis de energia para os sistemas abaixo, assumindo que o comprimento da caixa é dado por
(b) Assumindo que cada nível de energia da caixa possa ser ocupado por dois elétrons, faça uma estimativa da luz absorvida quando ocorre uma transição eletrônica do orbital molecular ocupado de maior energia (HOMO) para o horbital molecular desocupado de menor energia (LUMO). Valores experimentais: Pentadieno:
Passo 1
O enunciado usa o modelo do elétron livre em uma caixa unidimensional de comprimento
, com
\AA. O conteúdo é partícula na caixa na mecânica quântica e vamos precisar das formas usuais das funções de onda e dos níveis de energia desse modelo.
Passo 2
No modelo da partícula na caixa de comprimento
, as auto-funções e os auto-valores de energia são
com
, e
onde
é a constante de Planck e
a massa do elétron.
Passo 3
Para pentadieno temos
carbonos conjugados, logo
Cada nível acomoda dois elétrons, e o sistema tem
elétrons
(um por carbono), então os quatro primeiros ocupam os níveis
e
(quatro elétrons) e sobra um elétron que emparelha no
. Assim o HOMO é
e o LUMO é
.
Passo 4
A energia da transição HOMO
LUMO é
Substituindo
,
,
,kg e
,m, obtemos numericamente
O comprimento de onda absorvido é
em bom acordo com o valor experimental de
nm.
Passo 5
Para o
-caroteno costuma-se tomar
carbonos conjugados, logo
Temos
elétrons
, cabendo dois por nível, de modo que o HOMO é
e o LUMO é
. Assim
Substituindo numericamente, chega-se a
o que, embora se afaste um pouco do experimental de
nm, mostra a tendência de alongamento de
com o aumento da conjugação.
Resposta
(a)
,
.
(b) Pentadieno: nm (exp.
nm).
-caroteno:
nm (exp.
nm).
(b) Pentadieno: