O modelo de Bohr foi proposto para explicar o espectro de linhas do hidrogênio. Explique como essa teoria justifica a emissão de luz em comprimentos de onda discretos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como o modelo de Bohr explica que o átomo de hidrogênio só emite luz em certos comprimentos de onda, ou seja, em linhas discretas. O conteúdo é o modelo atômico de Bohr e vamos precisar dos postulados de órbitas estacionárias (quantização do momento angular) e da relação entre energia e frequência do fóton.

Passo 2

Bohr propôs que o elétron só pode descrever órbitas circulares ao redor do núcleo se seu momento angular satisfizer a condição de quantização
m v r = n,h2pi,
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade, r o raio da órbita, h a constante de Planck e n um número inteiro positivo (número quântico).

Passo 3

A partir dessa quantização e da força centrípeta fornecida pela atração coulombiana, Bohr mostra que a energia total do elétron na n-ésima órbita é
En = -13,6:eVn^2
Note que esses níveis de energia são valores discretos e negativos, ficando mais próximos de zero à medida que n cresce.

Passo 4

Quando o elétron faz uma transição de um nível ni para um nível inferior nf, ele emite um fóton cuja energia é a diferença
De<a E = Eni - Enf
Pela relação de Planck, essa energia está ligada à frequência pela
De<a E = hnu,
e ao comprimento de onda pela
lambda = cnu
Como os níveis En são discretos, as diferenças De<a E também são discretas, gerando comprimentos de onda específicos.

Resposta

O modelo de Bohr justifica a emissão em comprimentos de onda discretos porque restringe o elétron a órbitas estacionárias com energia quantizada l(En = -13,6:eV/n^2r). Cada transição entre níveis nito nf libera um fóton de energia De<a E = Eni-Enf, e daí vêm apenas certas frequências nu=De<a E/h (e, portanto, certos comprimentos de onda lambda=c/nu), correspondendo às linhas observadas no espectro do hidrogênio.

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