Um modelo de Bomba possui as seguintes características:
, Vazão
m e
. Deseja-se construir uma Bomba geometricamente semelhante de diâmetro de 1,20 m e que forneça uma potência de eixo de 653 kW . Determine as condições de operação desta Bomba. (Resp.: 96,23 rpm; 5,73 m³/s;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um modelo de bomba com certas características e queremos construir uma bomba parecida, mas maior, com um diâmetro de 1,20 metros e que forneça uma potência de 653 kW. Para resolver isso, vamos precisar usar os leis de similaridade ou leis de afinidade das bombas, que ajudam a relacionar parâmetros como diâmetro, velocidade, vazão e potência entre bombas geometricamente semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que já temos:
- Potência da bomba original ($ P_1 $): 13,6 kW
- Diâmetro da bomba original ($ D_1 $): 380 mm = 0,38 m
- Vazão da bomba original ($ Q_1 $): 0,34 m³/s
- Altura (ou cabeça) da bomba original ($ H_1 $): 2,7 m
- Velocidade da bomba original ($ n_1 $): 180 rpm
Queremos encontrar:
- Velocidade da nova bomba ($ n_2 $)
- Vazão da nova bomba ($ Q_2 $)
- Eficiência da nova bomba
Passo 3
Vamos usar as leis de afinidade para bombas geometricamente semelhantes. As principais relações são:
-
Vazão ($ Q $):
-
Cabeça ($ H $):
-
Potência ($ P $):
Essas equações permitem relacionar os parâmetros das duas bombas.
Passo 4
Como queremos encontrar a velocidade $ n_2 $, vamos usar a relação da potência. Rearranjando a equação:
Vamos substituir os valores que conhecemos:
Passo 5
Calculando $ \frac{653}{13,6} $:
Agora, calculando $ \left( \frac{1,20}{0,38} \right)^5 $:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar $ \left( \frac{n_2}{180} \right)^3 $:
Agora, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 180 para encontrar $ n_2 $:
Arredondando, temos aproximadamente 96,23 rpm.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a vazão $ Q_2 $ da nova bomba usando a relação da vazão:
Calculando cada parte:
Multiplicando:
Isolando $ Q_2 $:
Mas o valor esperado é 5,73 m³/s, o que sugere que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar.
Na verdade, a relação correta da vazão é:
Substituindo:
Esse valor ainda não bate com o esperado. Parece que houve um equívoco na aplicação das leis. Vamos usar uma abordagem diferente.
Passo 8
Usando a relação da potência para encontrar a velocidade $ n_2 $, já encontramos aproximadamente 96,23 rpm.
Agora, para encontrar a vazão $ Q_2 $, usaremos a relação da potência com a vazão:
Assumindo que a altura $ H $ da nova bomba também muda de acordo com as leis de afinidade:
Substituindo os valores:
Agora, usando $ P = \rho \times g \times Q \times H \times \eta $, onde $ \rho $ é a densidade da água (aprox. 1000 kg/m³), $ g $ a aceleração da gravidade (9,81 m/s²) e $ \eta $ a eficiência.
Rearranjando para $ Q $:
Assumindo uma eficiência inicial $ \eta_1 = \frac{P_1}{\rho \times g \times Q_1 \times H_1} $:
Agora, para a nova bomba:
Passo 9
Finalmente, para encontrar a eficiência $ \eta_2 $:
Resposta
As condições de operação da nova bomba são:
- Velocidade: 96,23 rpm
- Vazão: 5,73 m³/s
- Eficiência: 66,11%