Um modelo de foguete, propelido por queima de combustível, decola verticalmente. Trace qualitativamente (não são necessários valores numéricos) os gráficos y, ve a versus t para o vôo do foguete. Indique, ao terminar o combustível, quando o foguete alcança a altura máxima e quando retorna ao solo.
Passo 1
O enunciado pede os gráficos qualitativos de posição
, velocidade
e aceleração
em função do tempo
para um foguete lançado verticalmente e propulsionado por queima de combustível. Precisamos indicar três instantes-chave: término do combustível
, ponto de altura máxima
e retorno ao solo
. Usaremos noções de cinemática:
– é a aceleração resultante.
– é a velocidade.
– Em cada fase (propulsão e coasting sob gravidade) a aceleração é aproximadamente constante.
–
–
– Em cada fase (propulsão e coasting sob gravidade) a aceleração é aproximadamente constante.
Passo 2
Identificamos três fases do voo:
- Propulsão
: empuxo supera peso, resultando em aceleração neta positiva . - Coasting de subida
: queima cessou; única aceleração é a da gravidade, . A velocidade decresce até zerar em . - Queda livre
: ainda , a velocidade torna-se negativa e o foguete retorna ao solo em .
Passo 3
Construção de
:
– Para , temos
(linha horizontal acima de zero).
– Em ocorre salto instantâneo de
para
.
– Para , temos
(linha horizontal abaixo de zero).
Marque em a mudança de ramo.
– Para
– Em
– Para
Marque em
Passo 4
Construção de
:
– De a
,
cresce aproximadamente de forma linear com inclinação
, partindo de
até
.
– A partir de , a inclinação de
passa a ser
, fazendo
decrescer linearmente de
até
em
, e depois ficar negativa até
.
Marque ,
(onde
) e
.
– De
– A partir de
Marque
Passo 5
Construção de
:
– De a
,
cresce com concavidade para cima (pois
), partindo de
até
.
– De a
, concavidade para baixo (pois
), mas
continua subindo até
, onde a reta tangente é horizontal
.
– De a
,
decresce com mesma concavidade negativa até
.
Marque os instantes ,
e
no eixo
.
– De
– De
– De
Marque os instantes
Resposta
Os três gráficos qualitativos têm a seguinte aparência e marcações:
- Gráfico de
Salto em (t=t_b].
-
Gráfico de
:
– Traço ascendente linear (inclinação) de a em .
– A partir de, traço descendente linear (inclinação ), passando por em e atingindo valor negativo em . -
Gráfico de
:
– Curva crescente e convexa para cima até.
– Continua crescendo, agora convexa para baixo, até o máximoem .
– Depois decresce convexa para baixo atéem .
Nos três gráficos, os instantes-chave são indicados em
,
e
.