Um modelo de foguete, propelido por queima de combustível, decola verticalmente. Trace qualitativamente (não são necessários valores numéricos) os gráficos y, ve a versus t para o vôo do foguete. Indique, ao terminar o combustível, quando o foguete alcança a altura máxima e quando retorna ao solo.

Passo 1

O enunciado pede os gráficos qualitativos de posição y, velocidade v e aceleração a em função do tempo t para um foguete lançado verticalmente e propulsionado por queima de combustível. Precisamos indicar três instantes-chave: término do combustível t=t_b, ponto de altura máxima t=t_\text{pico} e retorno ao solo t=t_\text{f}. Usaremos noções de cinemática:
a(t)=\dot v(t) é a aceleração resultante.
v(t)=\dot y(t) é a velocidade.
– Em cada fase (propulsão e coasting sob gravidade) a aceleração é aproximadamente constante.

Passo 2

Identificamos três fases do voo:
  1. Propulsão 0\le t\le t_b: empuxo supera peso, resultando em aceleração neta positiva a=a_p>0.
  2. Coasting de subida t_b\le t\le t_\text{pico}: queima cessou; única aceleração é a da gravidade, a=-g<0. A velocidade decresce até zerar em t_\text{pico}.
  3. Queda livre t_\text{pico}\le t\le t_f: ainda a=-g, a velocidade torna-se negativa e o foguete retorna ao solo em t_f.

Passo 3

Construção de a(t):
– Para 0\le t<t_b, temos a(t)=a_p>0 (linha horizontal acima de zero).
– Em t=t_b ocorre salto instantâneo de a_p para -g.
– Para t_b<t\le t_f, temos a(t)=-g (linha horizontal abaixo de zero).
Marque em t=t_b a mudança de ramo.

Passo 4

Construção de v(t):
– De 0 a t_b, v cresce aproximadamente de forma linear com inclinação a_p, partindo de v(0)=0 até v(t_b)=v_b.
– A partir de t_b, a inclinação de v(t) passa a ser -g, fazendo v decrescer linearmente de v_b até v=0 em t=t_\text{pico}, e depois ficar negativa até v(t_f)<0.
Marque t_b, t_\text{pico} (onde v=0) e t_f.

Passo 5

Construção de y(t):
– De 0 a t_b, y cresce com concavidade para cima (pois a_p>0), partindo de y(0)=0 até y(t_b)=y_b.
– De t_b a t_\text{pico}, concavidade para baixo (pois a=-g<0), mas y continua subindo até \,y(t_\text{pico})=y_\text{max}, onde a reta tangente é horizontal v=0.
– De t_\text{pico} a t_f, y decresce com mesma concavidade negativa até y(t_f)=0.
Marque os instantes t_b, t_\text{pico} e t_f no eixo t.

Resposta

Os três gráficos qualitativos têm a seguinte aparência e marcações:
  1. Gráfico de a(t)\): \[\begin{cases} a(t)=a_p>0, & 0\le t<t_b,\\\ a(t)=-g, & t_b<t\le t_f. \end{cases}
Salto em (t=t_b].
  1. Gráfico de v(t):
    – Traço ascendente linear (inclinação a_p) de v(0)=0 a v_b em t_b.
    – A partir de t_b, traço descendente linear (inclinação -g), passando por v=0 em t_\text{pico} e atingindo valor negativo em t_f.
  2. Gráfico de y(t):
    – Curva crescente e convexa para cima até t_b.
    – Continua crescendo, agora convexa para baixo, até o máximo y_\text{max} em t_\text{pico}.
    – Depois decresce convexa para baixo até y=0 em t_f.
Nos três gráficos, os instantes-chave são indicados em t=t_b, t=t_\text{pico} e t=t_f.

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