Um modelo de foguete, propelido por queima de combustível, decola verticalmente. Trace qualitativamente (não são necessários valores numéricos) os gráficos y, ve a versus t para o vôo do foguete. Indique, ao terminar o combustível, quando o foguete alcança a altura máxima e quando retorna ao solo.

Passo 1

O enunciado pede os gráficos qualitativos das funções altura y(t) e velocidade v(t) de um foguete que sobe verticalmente em duas fases:
– Fase 1 0\le t\le t_b: queima de combustível, aceleração positiva líquida.
– Fase 2 t\ge t_b: motor desligado, queda livre sob aceleração -g.
Marcaremos em cada gráfico os instantes \,t_b (fim do combustível), \,t_{\max} (altura máxima, quando v=0) e \,t_r (retorno ao solo, quando y=0).

Passo 2

Fase 1 0\le t\le t_b: o foguete tem aceleração líquida
a_{\rm net}=\frac{F_{\rm empuxo}}{m}-g>0,
aproximadamente constante. Logo
v(t)=a_{\rm net}\,t \quad\text{e}\quad y(t)=\tfrac12\,a_{\rm net}\,t^2.
Em v(t) isso aparece como uma reta de inclinação positiva; em y(t) como uma curva concava para cima.

Passo 3

Em t=t_b o combustível acaba. Nesse instante
v_b=v(t_b)>0, \quad y_b=y(t_b)>0,
e ocorre mudança de concavidade em y(t) e de inclinação em v(t).

Passo 4

Fase 2 t\ge t_b: só atua a gravidade, a=-g. Assim
v(t)=v_b - g\,(t-t_b),
que é uma reta de declive -g, e
y(t)=y_b + v_b\,(t-t_b) - \tfrac12\,g\,(t-t_b)^2,
que é uma parábola voltada para baixo (concavidade negativa).

Passo 5

O instante de altura máxima ocorre quando v=0, ou seja
0=v_b - g\,(t_{\max}-t_b) \quad\Rightarrow\quad t_{\max}=t_b + \frac{v_b}{g}.
O retorno ao solo \bigl(y(t_r)=0\bigr) dá um valor t_r>t_{\max}, solução de
y_b + v_b\,(t_r-t_b) - \tfrac12\,g\,(t_r-t_b)^2=0.

Resposta

No gráfico de y(t):
Inicia em y(0)=0 com concavidade para cima até t=t_b. Em t_b (fim do combustível) a concavidade muda para baixo; y(t) continua subindo mas desacelera até atingir y'(t_{\max})=0 em t_{\max} (altura máxima). Para t>t_{\max}, y(t) decresce e volta a zero em t_r.
No gráfico de v(t):
Inicia em v(0)=0 e cresce linearmente (inclinação a_{\rm net}>0) até t=t_b, atingindo v(t_b)=v_b. A partir de t_b, a inclinação passa a -g, fazendo v(t) decrescer linearmente, cruzar v=0 em t_{\max} e ficar negativa até t_r (impacto no solo).

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