1. Em um modelo para o número de habitantes P(t) de uma comunidade é assumido que
\frac{d P}{d t}=\frac{d B}{d t}-\frac{d D}{d t},
onde d B / d t e d D / d t são as taxas de nascimento e de morte, respectivamente. Suponhamos P(0)=10 mil habitantes e que o tempo t é medido em anos.
a) Encontre P(t) supondo que d B / d t=k_{1} P e d D / d t=k_{2} P.
b) Se k_{1}=2, encontre k_{2} para que a população dobre em 5 anos.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de dinâmica populacional em que
\frac{dP}{dt}=\frac{dB}{dt}-\frac{dD}{dt},
com \tfrac{dB}{dt}=k_1P e \tfrac{dD}{dt}=k_2P. Temos P(0)=10 (mil habitantes) e t em anos. O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e uso da condição inicial.

Passo 2

Substituindo as taxas no modelo, obtemos
\frac{dP}{dt}=(k_1-k_2)\,P.
Podemos separar variáveis escrevendo
\frac{dP}{P}=(k_1-k_2)\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dP}{P}=\int(k_1-k_2)\,dt \;\Longrightarrow\; \ln P=(k_1-k_2)\,t+C.
Aplicando P(0)=10 \ln10=C.

Passo 4

Exponenciando, vem
P(t)=e^{\ln10}\,e^{(k_1-k_2)t}=10\,e^{(k_1-k_2)t}.

Passo 5

Para que a população dobre em 5 anos com k_1=2, impomos
P(5)=2P(0) \;\Longrightarrow\; 10\,e^{(2-k_2)\cdot5}=20 \;\Longrightarrow\; e^{5(2-k_2)}=2 \;\Longrightarrow\; 5(2-k_2)=\ln2 \;\Longrightarrow\; k_2=2-\frac{\ln2}{5}.

Resposta

a) \displaystyle P(t)=10\,e^{(k_{1}-k_{2})t} mil habitantes.
b) \displaystyle k_{2}=2-\frac{\ln2}{5}.

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