- Em um modelo para o número de habitantes
de uma comunidade é assumido que
onde
e
são as taxas de nascimento e de morte, respectivamente. Suponhamos
mil habitantes e que o tempo
é medido em anos.
a) Encontre
supondo que
e
.
b) Se
, encontre
para que a população dobre em 5 anos.
a) Encontre
b) Se
Passo 1
O enunciado descreve um modelo de dinâmica populacional em que
com
e
. Temos
(mil habitantes) e
em anos. O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e uso da condição inicial.
Passo 2
Substituindo as taxas no modelo, obtemos
Podemos separar variáveis escrevendo
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Aplicando
dá
.
Passo 4
Exponenciando, vem
Passo 5
Para que a população dobre em
anos com
, impomos
Resposta
a)
mil habitantes.
b)
b)