1. Um modelo para a população P(t) em um subúrbio de uma grande cidade é dado pelo problema de valor inicial
\left\{ \begin{array}{l} \frac{d P}{d t}=P\left(10^{-1}-10^{-7} P\right) \\\ P(0)=5000 \end{array} \right.
onde t é medido em meses.
a) Encontre a população limite, ou seja, calcule \lim _{t \rightarrow \infty} P(t).
b) Em quanto tempo a população será metade da população limite?

Passo 1

O enunciado dá o modelo logístico
\frac{dP}{dt}=P\bigl(10^{-1}-10^{-7}P\bigr),\quad P(0)=5000,
e pede
a) o valor de \displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t),
b) o tempo em que P(t) atinge metade desse valor.
O conteúdo é equação diferencial ordinária do tipo logístico; vamos usar equilíbrio para a) e método de separação de variáveis para b).

Passo 2

Para achar o valor limite, observamos os equilíbrios de
\frac{dP}{dt}=P\bigl(a - bP\bigr),\quad a=10^{-1},\\ b=10^{-7}.
Temos dP/dt=0 quando P=0 ou P=a/b. Como P(t) cresce a partir de 5000>0, segue-se que
\lim_{t\to\infty}P(t)=\frac{a}{b}=\frac{10^{-1}}{10^{-7}}=10^{6}.

Passo 3

Para determinar o tempo da metade da população limite, precisamos da solução geral. Fazendo separação de variáveis, chega-se à forma
P(t)=\frac{K}{1+Ce^{-a t}},\quad K=\frac{a}{b}=10^{6}.
A condição P(0)=5000 implica
5000=\frac{10^{6}}{1+C}\quad\Longrightarrow\quad 1+C=\frac{10^{6}}{5000}=200\quad\Longrightarrow\quad C=199.

Passo 4

Agora, queremos P(t)=K/2=5\times10^{5}. Então
\frac{10^{6}}{1+199\,e^{-0,1t}}=5\times10^{5} \quad\Longrightarrow\quad 1+199\,e^{-0,1t}=2 \quad\Longrightarrow\quad 199\,e^{-0,1t}=1
\Longrightarrow\quad e^{-0,1t}=\frac{1}{199} \quad\Longrightarrow\quad -0,1\,t=\ln\!\bigl(1/199\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-\ln(1/199)}{0,1}=\frac{\ln(199)}{0,1}.
Numericamente,
t\approx10\ln(199)\approx10\times5,293\approx52,93\\ \text{meses}.

Resposta

a) \displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=10^{6}.
b) t\approx52{,}93 meses.

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