- Um modelo para a população
em um subúrbio de uma grande cidade é dado pelo problema de valor inicial
onde
é medido em meses.
a) Encontre a população limite, ou seja, calcule
.
b) Em quanto tempo a população será metade da população limite?
a) Encontre a população limite, ou seja, calcule
b) Em quanto tempo a população será metade da população limite?
Passo 1
O enunciado dá o modelo logístico
e pede
a) o valor de ,
b) o tempo em que atinge metade desse valor.
O conteúdo é equação diferencial ordinária do tipo logístico; vamos usar equilíbrio para a) e método de separação de variáveis para b).
a) o valor de
b) o tempo em que
O conteúdo é equação diferencial ordinária do tipo logístico; vamos usar equilíbrio para a) e método de separação de variáveis para b).
Passo 2
Para achar o valor limite, observamos os equilíbrios de
Temos
quando
ou
. Como
cresce a partir de
, segue-se que
Passo 3
Para determinar o tempo da metade da população limite, precisamos da solução geral. Fazendo separação de variáveis, chega-se à forma
A condição
implica
Passo 4
Agora, queremos
. Então
Numericamente,
Resposta
a)
b) meses.
b)