De modo a conduzir um experimento, 4 indivíduos são selecionados aleatoriamente de um grupo de 20 pessoas.
(b) Se no grupo original havia 15 homens e 5 mulheres, qual é a chance de que a amostra seja representativa* do grupo?
  • no sentido de manter os mesmos percentuais de homens e mulheres do grupo original

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo original de 20 pessoas, onde 15 são homens e 5 são mulheres. Queremos saber qual é a chance de, ao selecionar 4 pessoas desse grupo de forma aleatória, a amostra manter a mesma proporção de homens e mulheres que o grupo original. Basicamente, queremos que a amostra seja representativa do grupo, ou seja, com 75% de homens e 25% de mulheres.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras possíveis de selecionar 4 pessoas de um grupo de 20. Isso é calculado usando a combinação, que nos dá o número de formas de escolher um subconjunto sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Para o nosso caso:
C(20, 4) = 20!4!(20 - 4)! = 20!4! cdot 16!

Passo 3

Agora, queremos que a amostra mantenha 75% de homens e 25% de mulheres. Com 4 pessoas na amostra, isso significa selecionar 3 homens e 1 mulher.
Vamos calcular separadamente as maneiras de escolher 3 homens de 15 e 1 mulher de 5.
Para os homens:
C(15, 3) = 15!3!(15 - 3)! = 15!3! cdot 12!
Para as mulheres:
C(5, 1) = 5!1!(5 - 1)! = 5!1! cdot 4! = 5

Passo 4

Para encontrar o número total de maneiras de obter uma amostra representativa (3 homens e 1 mulher), multiplicamos as combinações de homens e mulheres:
C(15, 3) times C(5, 1)

Passo 5

Finalmente, a probabilidade de a amostra ser representativa é a razão entre o número de maneiras favoráveis e o número total de maneiras possíveis:
P = C(15, 3) times C(5, 1)C(20, 4)

Resposta

A chance de a amostra de 4 pessoas ser representativa do grupo original é:
P = dbinom153 times dbinom51dbinom204 approx 0,4545 ou 45,45%

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