Durante o auge da pandemia de Covid19, uma empresa farmacêutica lançou um novo tipo de teste rápido para detectar se a pessoa está contaminada com o vírus. A partir de ensaios clínicos realizados em seus laboratórios, a empresa alega que, dentre as pessoas que estavam contaminadas, o teste acusou positivo em 90 % das vezes. A probabilidade de falso alarme foi de 5 % (teste positivo quando a pessoa não está contaminada). Sabe-se ainda que 1,8 % das pessoas testadas estavam contaminadas e tiveram o teste positivo. Com base nestes dados, responda:
(a) Qual foi percentual total de testes positivos nos ensaios clínicos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre um teste rápido para COVID-19 com certas taxas de acerto e erro. Precisamos descobrir qual foi o percentual total de testes que deram positivo nos ensaios clínicos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, especialmente a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Vamos organizar as informações que temos:
  • Sensibilidade do teste: 90% (Isso significa que, se a pessoa está contaminada, há 90% de chance do teste dar positivo. Em termos de probabilidade: $ P(Positivo \mid Contaminado) = 0.9 $).
  • Taxa de falso positivo: 5% (Ou seja, se a pessoa não está contaminada, há 5% de chance do teste dar positivo: $ P(Positivo \mid Não Contaminado) = 0.05 $).
  • Probabilidade conjunta de estar contaminado e ter teste positivo: 1,8% ($ P(Contaminado e Positivo) = 0.018 $).

Passo 3

Primeiro, precisamos descobrir a prevalência da doença nos testes, ou seja, qual a proporção de pessoas que realmente estavam contaminadas. Sabemos que:
P(Contaminado e Positivo) = P(Positivo mid Contaminado) times P(Contaminado)
Substituindo os valores:
0.018 = 0.9 times P(Contaminado)
Para encontrar $ P(Contaminado) $:
P(Contaminado)

Passo 4

Agora que sabemos que 2% das pessoas testadas estavam realmente contaminadas, podemos calcular 98% que não estavam contaminadas ($ P(Não Contaminado) = 1 - 0.02 = 0.98 $).

Passo 5

Aplicando a Lei da Probabilidade Total para encontrar o percentual total de testes positivos:
P(Positivo) = P(Positivo mid Contaminado) times P(Contaminado) + P(Positivo mid Não Contaminado) times P(Não Contaminado) ãã
Substituindo os valores:
P(Positivo) = (0.9 times 0.02) + (0.05 times 0.98)
P(Positivo) = 0.018 + 0.049 = 0.067

Resposta

O percentual total de testes positivos nos ensaios clínicos foi de 6,7%.

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