De que modo usamos o teorema de Stokes em conexão com a independência do caminho?

Passo 1

A questão trata de como usar o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha de um campo vetorial entre dois pontos não depende do caminho. O conteúdo é o teorema de Stokes (ligando circulação a rotor) e o conceito de domínio simplesmente–conectado onde o rotor do campo deve ser zero.

Passo 2

O teorema de Stokes diz que, dada uma superfície orientada S com borda fechada C e um campo vetorial F suave, vale
ointCFcdotdr=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS

Passo 3

Considere dois caminhos gamma1 e gamma2 que ligam os mesmos pontos A e B. Ao percorrermos gamma1 de A a B e voltarmos por gamma2 de B a A, formamos um laço fechado C = gamma1-gamma2.

Passo 4

Aplicando Stokes a esse laço temos
ointCFcdotdr=integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS
Se o domínio for simplesmente–conectado e nablatimes F=0 em toda a região, então a superfície S não tem singularidades e a integral de superfície é zero. Logo
ointCFcdotdr=0

Passo 5

Como ointCFcdotdr=integralgamma1Fcdotdr-integralgamma2Fcdotdr, a igualdade acima implica
integralgamma1Fcdotdr=integralgamma2Fcdotdr,
o que prova a independência de caminho. A recíproca também vale: se a integral é independente do caminho, o rotor deve se anular.

Passo 6

Em resumo, usamos Stokes para transformar a diferença de integrais ao longo de dois caminhos num único loop fechado e mostramos que, se o rotor some zero num domínio apropriado, a circulação em qualquer laço é zero, garantindo independência do caminho.

Resposta

Aplicamos Stokes para transformar a integral em um laço fechado na integral do rotor sobre uma superfície. Se o rotor de F se anula num domínio simplesmente–conectado, a circulação em qualquer laço é zero, o que implica que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.

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