De que modo usamos o teorema de Stokes em conexão com a independência do caminho?
Passo 1
A questão trata de como usar o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha de um campo vetorial entre dois pontos não depende do caminho. O conteúdo é o teorema de Stokes (ligando circulação a rotor) e o conceito de domínio simplesmente–conectado onde o rotor do campo deve ser zero.
Passo 2
O teorema de Stokes diz que, dada uma superfície orientada S com borda fechada C e um campo vetorial F suave, vale
Passo 3
Considere dois caminhos
e
que ligam os mesmos pontos A e B. Ao percorrermos
de A a B e voltarmos por
de B a A, formamos um laço fechado C =
.
Passo 4
Aplicando Stokes a esse laço temos
Se o domínio for simplesmente–conectado e
em toda a região, então a superfície S não tem singularidades e a integral de superfície é zero. Logo
Passo 5
Como
, a igualdade acima implica
o que prova a independência de caminho. A recíproca também vale: se a integral é independente do caminho, o rotor deve se anular.
Passo 6
Em resumo, usamos Stokes para transformar a diferença de integrais ao longo de dois caminhos num único loop fechado e mostramos que, se o rotor some zero num domínio apropriado, a circulação em qualquer laço é zero, garantindo independência do caminho.
Resposta
Aplicamos Stokes para transformar a integral em um laço fechado na integral do rotor sobre uma superfície. Se o rotor de F se anula num domínio simplesmente–conectado, a circulação em qualquer laço é zero, o que implica que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.