Dê a definição de rotacional. Por que ele é importante no que estudamos?

Passo 1

A questão pede a definição de rotacional e motiva sua importância no contexto de cálculo vetorial e aplicações em física e engenharia. Vamos usar operador nabla, derivadas parciais e interpretação física de campos vetoriais.

Passo 2

O rotacional de um campo vetorial F(x,y,z)=l(Fx,Fy,Fzr) em R^3 é definido como o produto vetorial entre o operador nabla e o próprio campo. Em bloco, temos:
nabla times F = i & j & k dfracpartialpartial x & dfracpartialpartial y & dfracpartialpartial z Fx & Fy & Fz
Isso resulta no vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais:
nabla times F = l(,partialy Fz - partialz Fy,;partialz Fx - partialx Fz,;partialx Fy - partialy Fxr)

Passo 3

Física e geometricamente, o rotacional mede a tendência de rotação ou vorticidade local do campo. Se nablatimesF=0, dizemos que o campo é irrotacional, ou seja, não há circulação infinitesimal.

Passo 4

A importância do rotacional está em várias aplicações:
  • Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de F ao fluxo de nablatimesF sobre uma superfície.
  • Em fluidos, nablatimesv é a vorticidade, fundamental para turbulência e dinâmica de fluidos.
  • Em eletromagnetismo, as leis de Maxwell usam o rotacional, por exemplo nablatimesE=-partialB/partial t.

Resposta

O rotacional de um campo vetorial F é definido como nablatimesF, dado pelo determinante envolvendo o operador nabla e as componentes de F. Ele mede a vorticidade ou tendência de rotação local do campo e é crucial para formulismos como o teorema de Stokes, descrição de vorticidade em fluidos e as equações de Maxwell no eletromagnetismo.

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