Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
(b) duas caras e uma coroa;
(b) duas caras e uma coroa;
Passo 1
O enunciado: uma moeda é lançada
3
vezes. Pede-se a probabilidade de obter exatamente duas caras e uma coroa.
Informações que temos (e que vou assumir, já que o enunciado não diz o contrário):
- Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara (
) ou coroa ( ). - A moeda é justa (probabilidade de cara em um lançamento é
) e os lançamentos são independentes. - Vou chamar de evento
o evento “exatamente duas caras e uma coroa” em três lançamentos.
Passo 2
Construir o espaço amostral (todas as sequências possíveis de três lançamentos). Como cada lançamento tem duas opções e há
lançamentos, o número total de sequências é
. Listando as sequências (cada sequência é igualmente provável porque a moeda é justa e os lançamentos são independentes):
Passo 3
Identificar os resultados favoráveis ao evento
= “duas caras e uma coroa”. Das sequências listadas, as que têm exatamente duas
são:
Então há
resultados favoráveis.
Explicação alternativa (combinatória): escolher quais
dos
lançamentos resultarão em cara é um problema de combinação. O número de maneiras é
onde
. Aqui
,
, logo
.
Passo 4
Calcular a probabilidade por contagem de casos igualmente prováveis.
Cada sequência específica de três resultados (por exemplo
) tem probabilidade
porque os lançamentos são independentes e cada cara ou coroa tem probabilidade
.
Como há
sequências favoráveis e cada uma tem probabilidade
, a probabilidade do evento
é
Passo 5
Explicação via fórmula binomial (forma geral, útil para a prova):
Se
é o número de caras em
lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade de cara
, então
Aqui
,
,
. Substituindo obtemos a mesma expressão que em
Passo 6
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento):
- Liste o espaço amostral se for pequeno (aqui só
casos) — é rápido e seguro. - Ou use imediatamente a fórmula binomial quando pedir “exatamente
sucessos em tentativas”. - Lembre de verificar se a moeda/experimento é justo/independente; se não for, use
diferente de .