Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
(b) duas caras e uma coroa;

Passo 1

O enunciado: uma moeda é lançada 3 vezes. Pede-se a probabilidade de obter exatamente duas caras e uma coroa.
Informações que temos (e que vou assumir, já que o enunciado não diz o contrário):
  • Cada lançamento tem dois resultados possíveis: cara ( C) ou coroa ( K).
  • A moeda é justa (probabilidade de cara em um lançamento é p=\tfrac{1}{2}) e os lançamentos são independentes.
  • Vou chamar de evento E o evento “exatamente duas caras e uma coroa” em três lançamentos.

Passo 2

Construir o espaço amostral (todas as sequências possíveis de três lançamentos). Como cada lançamento tem duas opções e há 3 lançamentos, o número total de sequências é 2^{3}=8. Listando as sequências (cada sequência é igualmente provável porque a moeda é justa e os lançamentos são independentes):
\{C C C,\; C C K,\; C K C,\; K C C,\; C K K,\; K C K,\; K K C,\; K K K\}.

Passo 3

Identificar os resultados favoráveis ao evento E = “duas caras e uma coroa”. Das sequências listadas, as que têm exatamente duas C são:
C C K,\quad C K C,\quad K C C.
Então há 3 resultados favoráveis.
Explicação alternativa (combinatória): escolher quais 2 dos 3 lançamentos resultarão em cara é um problema de combinação. O número de maneiras é
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\,1!},
onde n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Aqui 3!=6, 2!=2, logo \binom{3}{2}=\dfrac{6}{2}=3.

Passo 4

Calcular a probabilidade por contagem de casos igualmente prováveis.
Cada sequência específica de três resultados (por exemplo C K C) tem probabilidade
\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}
porque os lançamentos são independentes e cada cara ou coroa tem probabilidade \tfrac{1}{2}.
Como há \binom{3}{2}=3 sequências favoráveis e cada uma tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}, a probabilidade do evento E é
\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}.

Passo 5

Explicação via fórmula binomial (forma geral, útil para a prova):
Se X é o número de caras em n lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade de cara p, então
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Aqui n=3, k=2, p=\tfrac{1}{2}. Substituindo obtemos a mesma expressão que em

Passo 6

P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumindo o procedimento):
  • Liste o espaço amostral se for pequeno (aqui só 8 casos) — é rápido e seguro.
  • Ou use imediatamente a fórmula binomial quando pedir “exatamente k sucessos em n tentativas”.
  • Lembre de verificar se a moeda/experimento é justo/independente; se não for, use p diferente de \tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{8}

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