Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
(c) uma cara;

Passo 1

O enunciado: uma moeda é lançada três vezes. A pergunta é achar a probabilidade de se obterem “uma cara”. Isto significa que queremos a probabilidade de ocorrer exatamente uma face “cara” (um único resultado “cara”) entre as três jogadas. Informações dadas/assumidas:
  • Há três lançamentos independentes.
  • A moeda é justa (probabilidade de cara em cada lançamento é 1/2).
  • Cada sequência de resultados (por exemplo, cara-coroa-coroa) tem a mesma probabilidade.
    A partir daqui vamos calcular essa probabilidade passo a passo.

Passo 2

Primeiro construa o espaço amostral completo (todas as sequências possíveis de três lançamentos). Usando C para cara e K para coroa, as 2^3 sequências são:
CCC,\; CCK,\; CKC,\; CKK,\; KCC,\; KCK,\; KKC,\; KKK.
Portanto o número total de resultados possíveis é 2^3=8. Como a moeda é justa e os lançamentos são independentes, cada sequência tem probabilidade (1/2)^3=1/8.

Passo 3

Agora identifique os resultados favoráveis: aqueles com exatamente uma cara. Listando as sequências com uma única C:
C K K,\; K C K,\; K K C.
Contando: há exatamente 3 sequências favoráveis.

Passo 4

Usando a definição clássica de probabilidade (casos favoráveis divididos pelo total), a probabilidade pedida é
\frac{\text{nº de sequências com exatamente uma cara}}{\text{nº total de sequências}}=\frac{3}{8}.ºêºê
Explicação alternativa (mesma resposta): cada uma das 3 sequências favoráveis tem probabilidade 1/8, somando 3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.

Passo 5

Opcional — ver com a fórmula binomial (útil para problemas parecidos): para n lançamentos independentes com probabilidade de cara p, a probabilidade de exatamente k caras é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}.
Aqui n=3, k=1, p=\tfrac{1}{2}. Calculando:
\binom{3}{1}=3,\qquad p^{1}(1-p)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{8},
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P(X=1)=3\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8},
confirmando o resultado.

Resposta

\frac{3}{8}

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