Um mol de ar em um recipiente fechado está inicialmente a 300 K . Suponha que você agora adicione 1000 J de calor ao ar, sem realizar nenhum trabalho sobre ele.
a) Após o processo, qual é a energia térmica total do ar? Se necessário, use
J/mol.K.
b) Qual é a sua temperatura final?
a) Após o processo, qual é a energia térmica total do ar? Se necessário, use
b) Qual é a sua temperatura final?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue em matemática está entre delimitadores TeX):
- Quantidade de substância:
mol de ar. - Temperatura inicial:
. - Calor adicionado:
. - Não se realiza trabalho sobre o gás, ou seja, o trabalho
. - Constante dos gases:
.
Perguntas:
- Após o processo, qual é a energia térmica total do ar? (isto é, a energia interna final
.) - Qual é a temperatura final
?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- A primeira lei da termodinâmica diz que a variação da energia interna
do sistema é dada por
onde
é o calor trocado com o sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema.
- Aqui foi dito que não se realiza trabalho sobre o gás. Interpretação: como o recipiente é fechado e não há deslocamento de parede,
. Então
Isto significa que todo o calor fornecido aumenta a energia interna do gás.
Passo 3
Fórmula da energia interna para gás ideal e calor molar:
- Para um gás ideal monoatômico, diatômico, etc., a energia interna por mol é proporcional à temperatura. Em geral, para
mols vale
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade
),
é a temperatura em kelvin e
é o número de mols.
- Para o ar à temperatura ambiente podemos aproximá-lo como um gás diatômico (principalmente
e ), cujas rotações estão ativas mas as vibrações não estão excitadas a . Para um gás diatômico clássico temos graus de liberdade e
Isso dá a forma prática que usaremos. (Se fosse monoatômico usaríamos
; para outros gases o
muda, mas para ar comum a aproximação
é padrão.)
Passo 4
Cálculo de
numérico (mostrando contas):
Como temos
mol, a energia interna inicial é
Explicando:
dá a energia interna por mol; multiplicando por
obtemos a energia total.
Passo 5
Usando
para obter
:
Substituindo os números que já temos:
Portanto a energia térmica total (energia interna) após adicionar o calor é
.
Passo 6
Encontrar a temperatura final
:
- Usamos novamente
e isolamos :
- Substituindo
, e :
- Calculemos a fração (mostrando o raciocínio numérico):
logo
Passo 7
Resumo e interpretação curta (para que você saiba aplicar na prova):
- Como não houve trabalho, todo calor foi transformado em aumento da energia interna:
. - Para gás ideal,
. Para ar em temperatura ambiente, usar é apropriado. - Procedimento prático na prova: calcular
, achar , somar para obter e dividir por para achar . Se pedirem apenas , usar .