Um mol de ar em um recipiente fechado está inicialmente a 300 K . Suponha que você agora adicione 1000 J de calor ao ar, sem realizar nenhum trabalho sobre ele.
a) Após o processo, qual é a energia térmica total do ar? Se necessário, use R=8,31 J/mol.K.
b) Qual é a sua temperatura final?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue em matemática está entre delimitadores TeX):
  • Quantidade de substância: n=1 mol de ar.
  • Temperatura inicial: T_i=300\\ \text{K}.
  • Calor adicionado: Q=1000\\ \text{J}.
  • Não se realiza trabalho sobre o gás, ou seja, o trabalho W=0.
  • Constante dos gases: R=8{,}31\\ \text{J/(mol\cdot K)}.
Perguntas:
  1. Após o processo, qual é a energia térmica total do ar? (isto é, a energia interna final U_f.)
  2. Qual é a temperatura final T_f?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • A primeira lei da termodinâmica diz que a variação da energia interna \Delta U do sistema é dada por
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor trocado com o sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema.
  • Aqui foi dito que não se realiza trabalho sobre o gás. Interpretação: como o recipiente é fechado e não há deslocamento de parede, W=0. Então
\Delta U = Q.
Isto significa que todo o calor fornecido aumenta a energia interna do gás.

Passo 3

Fórmula da energia interna para gás ideal e calor molar:
  • Para um gás ideal monoatômico, diatômico, etc., a energia interna por mol é proporcional à temperatura. Em geral, para n mols vale
U = n C_V T,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade \text{J/(mol\cdot K)}), T é a temperatura em kelvin e n é o número de mols.
  • Para o ar à temperatura ambiente podemos aproximá-lo como um gás diatômico (principalmente \mathrm{N_2} e \mathrm{O_2}), cujas rotações estão ativas mas as vibrações não estão excitadas a 300\\ \text{K}. Para um gás diatômico clássico temos f=5 graus de liberdade e
C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R.
Isso dá a forma prática que usaremos. (Se fosse monoatômico usaríamos C_V=\tfrac{3}{2}R; para outros gases o C_V muda, mas para ar comum a aproximação C_V=\tfrac{5}{2}R é padrão.)

Passo 4

Cálculo de C_V numérico (mostrando contas):
C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}31 = 20{,}775\\ \text{J/(mol\cdot K)}.
Como temos n=1 mol, a energia interna inicial é
U_i = n C_V T_i = 1\cdot 20{,}775\cdot 300 = 6232{,}5\\ \text{J}.
Explicando: C_V\cdot T dá a energia interna por mol; multiplicando por n obtemos a energia total.

Passo 5

Usando \Delta U = Q para obter U_f:
U_f = U_i + \Delta U = U_i + Q.
Substituindo os números que já temos:
U_f = 6232{,}5\\ \text{J} + 1000\\ \text{J} = 7232{,}5\\ \text{J}.
Portanto a energia térmica total (energia interna) após adicionar o calor é 7232{,}5\\ \text{J}.

Passo 6

Encontrar a temperatura final T_f:
  • Usamos novamente U = n C_V T e isolamos T:
T_f = \frac{U_f}{n C_V}.
  • Substituindo U_f, n e C_V:
T_f = \frac{7232{,}5}{1\cdot 20{,}775}\\ \text{K}.
  • Calculemos a fração (mostrando o raciocínio numérico):
\Delta T = T_f - T_i = \frac{Q}{n C_V} = \frac{1000}{20{,}775}\approx 48{,}14\\ \text{K},
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T_f = T_i + \Delta T = 300 + 48{,}14 = 348{,}14\\ \text{K}.

Passo 7

Resumo e interpretação curta (para que você saiba aplicar na prova):
  • Como não houve trabalho, todo calor foi transformado em aumento da energia interna: \Delta U=Q.
  • Para gás ideal, U=nC_VT. Para ar em temperatura ambiente, usar C_V=\tfrac{5}{2}R é apropriado.
  • Procedimento prático na prova: calcular C_V, achar U_i, somar Q para obter U_f e dividir por nC_V para achar T_f. Se pedirem apenas \Delta T, usar \Delta T = Q/(n C_V).

Resposta

U_f = 7232{,}5\\ \text{J}
T_f = 348{,}14\\ \text{K}

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