Uma mola de constante elástica k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} está fixada na base de um plano horizontal. Um carrinho de 0,5 \mathrm{~kg} é pressionado contra a mola, comprimindo-a em 10 cm . Após ser liberado do repouso, o carrinho percorre uma distância total de 2,0 \mathrm{~m} até parar. Determine o trabalho realizado pela força de atrito durante esse percurso e o valor do coeficiente de atrito cinético.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Dados fornecidos:
    • constante elástica da mola: k=400\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
    • massa do carrinho: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
    • compressão inicial da mola: x=0,10\\ \mathrm{m} (10 cm).
    • distância total percorrida após a liberação até parar: d=2,0\\ \mathrm{m}.
    • iremos usar a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O que o problema pede:
    1. Determinar o trabalho realizado pela força de atrito durante o percurso total.
    2. Determinar o valor do coeficiente de atrito cinético \mu_k.

Passo 2

Estratégia física e hipótese necessária (explicação didática e bem direta):
  • Quando a mola é comprimida e o carrinho é liberado, a energia armazenada na mola (energia potencial elástica) é convertida em energia cinética do carrinho enquanto a mola recupera sua forma. Em seguida o carrinho continua deslizando sobre o plano até parar por causa do atrito. A energia inicial armazenada na mola acaba sendo dissipada pelo trabalho da força de atrito até que o carrinho pare.
  • Fórmula da energia potencial elástica da mola: para uma mola ideal, a energia armazenada quando ela é comprimida (ou esticada) de uma distância x em relação ao comprimento natural é
    U_s=\tfrac{1}{2}k x^2,
    onde U_s é a energia (em joules), k é a constante da mola (em \mathrm{N}/\mathrm{m}) e x é a compressão/alongamento (em metros).
    Explicando: essa fórmula vem de integrar a força elástica F_s=-kx ao longo do deslocamento; o trabalho realizado pela mola ao sair de compressão x até o ponto natural (ou vice-versa) é \tfrac{1}{2}kx^2.
  • Trabalho da força de atrito: em um plano horizontal o módulo da força de atrito cinético é constante e dado por
    f_k=\mu_k N,
    onde N é a força normal. No plano horizontal sem inclinação, N=mg. Logo
    f_k=\mu_k m g.
    O trabalho realizado pela força de atrito ao longo de uma distância d é
    W_{\text{atrito}} = -f_k d = -\mu_k m g d.
    O sinal negativo indica que o atrito retira energia do sistema.
  • Conservação/contabilidade de energia (forma prática): a energia inicial armazenada na mola é dissipada pelo atrito até que o carrinho pare, ou seja (após a liberação e quando o carrinho termina em repouso),
    U_s + W_{\text{outros}} = 0 \quad\Rightarrow\quad W_{\text{atrito}} = -U_s,
    assumindo que não há outras perdas e que toda a energia da mola se transforma em trabalho do atrito quando o carrinho pára. Observação física importante: aqui assume-se o cenário usual de carrinho apoiado contra a mola fixa à base — depois que a mola volta ao seu comprimento natural ela deixa de empurrar; portanto toda a energia inicial da mola é, ao final, dissipada pelo atrito ao longo da distância total d. É essa hipótese que permite relacionar diretamente U_s com o trabalho total do atrito.

Passo 3

Calcular a energia potencial elástica inicial da mola U_s.
  • Aplicando a fórmula:
    U_s=\tfrac{1}{2}k x^2.
  • Substituindo os valores (vou mostrar a conta passo a passo):
    U_s=\tfrac{1}{2}\cdot 400\cdot(0,10)^2.
    Primeiro calcule (0,10)^2 = 0,010.
    Em seguida 400\cdot 0,010 = 4,0.
    Finalmente \tfrac{1}{2}\cdot 4,0 = 2,0.
  • Portanto
    U_s = 2,0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar o trabalho realizado pela força de atrito.
  • Pela contabilidade de energia do Passo 2, toda essa energia U_s foi dissipada pelo atrito ao fim do movimento, logo o trabalho total da força de atrito vale W_{\text{atrito}} = -U_s = -2,0\\ \mathrm{J}.(o sinal negativo mostra que o atrito retirou energia do sistema).

Passo 5

Determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_k.
  • Sabendo que o módulo do trabalho do atrito é também f_k d = \mu_k m g d, podemos escrever (usando o valor absoluto do trabalho)
    |W_{\text{atrito}}| = \mu_k m g d.
    Isolando \mu_k:
    \mu_k = \frac{|W_{\text{atrito}}|}{m g d}.
  • Substituindo os números (mostrando as contas):
    \mu_k = \frac{2,0}{0,5\cdot 9,8\cdot 2,0}.
    Calcule o denominador: 0,5\cdot 9,8 = 4,9; e 4,9\cdot 2,0 = 9,8.
    Então
    \mu_k = \frac{2,0}{9,8}\approx 0,2040816\ldots
  • Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas), obtemos
    \mu_k \approx 0,204.

Resposta

-2,0\\ \mathrm{J}
\mu_k=0,204

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