Se um objeto cai de uma certa altura e atinge uma mola no chão, como descrever as transformações de energia desde o repouso inicial até o ponto de compressão máxima da mola?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado (pressupostos que vou usar).
- Pede: descrever, passo a passo, as transformações de energia desde o instante em que o objeto é largado do repouso até o instante de compressão máxima da mola; e obter a relação que determina essa compressão máxima.
- Dados (variáveis que vou usar): massa do corpo
, aceleração da gravidade , altura inicial acima do topo da mola (o corpo é largado do repouso), constante elástica da mola . Vou chamar de a compressão da mola medida a partir da posição não comprimida (ou seja, quando a mola ainda está sem compressão). - Pressupostos ideais (vou assumir isso para poder escrever as equações limpas):
- Sem perdas por atrito ou resistência do ar (energia mecânica conservada).
- Mola ideal (energia elástica
), massa da mola desprezível. - Colisão entre corpo e mola é perfeitamente elástica no sentido de que não há perda adicional de energia no impacto.
Passo 2
Quais formas de energia aparecem e suas fórmulas — explicando devagar.
- Energia potencial gravitacional: é a energia associada à altura. Para um objeto de massa
a uma altura (referência escolhida) a energia é . Aqui escolho a referência de energia gravitacional no topo da mola (antes de compressão). - Energia cinética: energia associada ao movimento. Para velocidade
vale . - Energia elástica da mola: armazenada quando a mola é comprimida uma quantidade
. Fórmula: .
Comentário didático: o que importa é que, sem perdas, a somapermanece constante durante o movimento.
Passo 3
Primeiro trecho: do repouso à chegada ao topo da mola — conversão
.
- O corpo parte do repouso numa altura
acima do topo da mola. Inicialmente toda a energia é gravitacional: - Ao chegar exatamente no topo da mola (antes de qualquer compressão) a energia gravitacional diminuiu para zero (na referência escolhida) e toda energia virou cinética (na hipótese sem perdas):
- Resolvendo para a velocidade de impacto
(fórmula muito usada em provas):
Explicação rápida: essa é a famosa relação da queda livre que liga altura e velocidade; não usamos massa porque ela cancela.
Passo 4
Segundo trecho: durante a compressão da mola — transformação
e contribuição adicional de
.
- Quando o corpo começa a comprimir a mola, dois efeitos acontecem simultaneamente:
- A energia cinética que o corpo tem imediatamente antes da compressão é gradualmente convertida em energia elástica da mola.
- Enquanto o corpo desce mais uma distância
durante a compressão, a energia gravitacional diminui mais (porque usei referência no topo da mola).
- No instante de compressão máxima
a velocidade é zero ( ). Aplicando conservação da energia entre o instante inicial (repouso a ) e esse instante final: ou seja Observação: do lado direito há (energia armazenada na mola) e porque a energia gravitacional final é negativa na referência (o corpo desceu abaixo da referência). - Reescrevendo em forma de equação polinomial em
(para resolver):
Passo 5
Resolver a equação para encontrar a compressão máxima
.
- Multiplico por
para eliminar o meio: - Isso é uma equação quadrática padrão
com - Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): as raízes são
Substituindo : - Simplificando a raiz e escolhendo a raiz fisicamente positiva (compressão deve ser
): Comentário: a outra solução com sinal menos daria uma compressão negativa (não física neste contexto), por isso descartamos.
Passo 6
Interpretação física e exemplos rápidos (como usar essa fórmula na prova).
- A fórmula final mostra que
aumenta quando: - aumenta
(maior velocidade ao atingir a mola → mais energia a ser armazenada); - aumenta
(mais energia gravitacional ); - diminui
(mola mais “mole” comprime mais).
- aumenta
- Caso especial útil para provas: se
(o objeto é apenas solto de repouso tocando a mola), a fórmula reduz a Observe que a compressão máxima é o dobro da compressão estática de equilíbrio . Isso é um resultado clássico que costuma cair em exercícios: cair sobre a mola produz o dobro da compressão estática. - Se houver dissipação (atrito, resistência do ar, impacto inelástico), parte da energia se perde e a compressão máxima será menor; nessas situações não se pode usar a conservação pura — teria de subtrair a energia dissipada.
Passo 7
Resumo didático em linguagem simples (para decorar e aplicar rápido na prova).
- Fluxo de energias:
inicial → ao cair vira → ao comprimir a mola vira enquanto continua diminuindo; no ponto de compressão máxima toda a energia inicial está em menos a perda de altura contabilizada. - Equação-chave que eu decoraria para a prova (com a referência da altura no topo da mola):
e a solução para é - Dica prática: quando pedirem compressão máxima, escreva direto a conservação entre início e ponto de máximo (K final = 0) e resolva a quadrática; verifique sempre a raiz positiva.