Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r cos theta-s)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola com constante elástica $ k $ ligada a uma massa $ m $ em um plano horizontal. Usamos coordenadas polares $ r $ e $ \theta $ para descrever a posição da massa, e o comprimento natural da mola é $ s $. O conteúdo que vamos precisar aqui é a função Lagrangeana, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema. Para resolver isso, vamos calcular essas duas energias usando as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética $ T $ de um objeto em movimento é dada por:
T
Aqui, $ v $ é a velocidade da massa. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes: radial ($ \dot{r} T = 12 m v^2 r\dot{\theta} $). Então, a energia cinética fica:
v
Explicando rapidinho: $ \dot{r} $ é a taxa de variação do raio, ou seja, como a distância da massa ao ponto fixo está mudando com o tempo, e $ \dot{\theta} $ é a taxa de variação do ângulo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial $ U $. A mola tem uma energia potencial elástica, que é dada por:
U
Onde $ x $ é o comprimento da mola no instante $ t $ e $ s $ é o comprimento natural da mola. No nosso caso, como estamos usando coordenadas polares, o comprimento da mola é $ r \cos \theta $ (projeção no eixo radial). Então, substituindo:
U = 12 k (x - s)^2

Passo 4

Com as expressões da energia cinética e potencial em mãos, a função Lagrangeana $ L $ é dada por:
L
Substituindo as expressões que encontramos:
L = T - U
Isso combina a energia de movimento da massa com a energia armazenada na mola.

Resposta

A função Lagrangeana do sistema é:
L = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2 - 12 k (r cos theta - s)^2

Exercícios relacionados