Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma mola com constante elástica $ k $ ligada a uma massa $ m $ em um plano horizontal. Usamos coordenadas polares $ r $ e $ \theta $ para descrever a posição da massa, e o comprimento natural da mola é $ s $. O conteúdo que vamos precisar aqui é a função Lagrangeana, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema. Para resolver isso, vamos calcular essas duas energias usando as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética $ T $ de um objeto em movimento é dada por:
Aqui, $ v $ é a velocidade da massa. Em coordenadas polares, a velocidade tem duas componentes: radial ($ \dot{r}
r\dot{\theta} $). Então, a energia cinética fica:
Explicando rapidinho: $ \dot{r} $ é a taxa de variação do raio, ou seja, como a distância da massa ao ponto fixo está mudando com o tempo, e $ \dot{\theta} $ é a taxa de variação do ângulo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia potencial $ U $. A mola tem uma energia potencial elástica, que é dada por:
Onde $ x $ é o comprimento da mola no instante $ t $ e $ s $ é o comprimento natural da mola. No nosso caso, como estamos usando coordenadas polares, o comprimento da mola é $ r \cos \theta $ (projeção no eixo radial). Então, substituindo:
Passo 4
Com as expressões da energia cinética e potencial em mãos, a função Lagrangeana $ L $ é dada por:
Substituindo as expressões que encontramos:
Isso combina a energia de movimento da massa com a energia armazenada na mola.
Resposta
A função Lagrangeana do sistema é: