Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
d) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2+12 k(r-s)^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mola com constante elástica $ k $ e uma massa $ m $ presa em uma de suas extremidades. A outra extremidade da mola está fixa. O sistema está se movendo em um plano horizontal, e vamos usar coordenadas polares ($ r $ e $ \theta $) para descrever o movimento. O comprimento natural da mola é $ s $. Nosso objetivo é encontrar a função Lagrangeana do sistema, que é essencial para descrever a dinâmica do sistema usando a mecânica Lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função Lagrangeana $ L $ é dada pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
L
Vamos calcular separadamente $ T $ e $ V $.

Passo 3

Energia Cinética ($ T $)
No sistema de coordenadas polares, a energia cinética de uma partícula é dada por:
T
Aqui:
  • $ \dot{r} $ é a velocidade radial (como o raio está mudando).
  • $ \dot{\theta} $ é a velocidade angular (como o ângulo está mudando).

Passo 4

Energia Potencial ($ V $)
A energia potencial na mola é associada à sua deformação. Quando a mola está esticada ou comprimida em relação ao seu comprimento natural $ s $, a energia potencial é:
V
Aqui:
  • $ r $ é o comprimento atual da mola.
  • $ k $ é a constante elástica da mola.

Passo 5

Função Lagrangeana ($ L $)
Agora, substituímos $ T $ e $ V $ na expressão da Lagrangeana:
L
Simplificando, temos:
T

Resposta

A função Lagrangeana do sistema é:
L = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2 - 12 k (r - s)^2

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