Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mola com constante elástica $ k $ e uma massa $ m $ presa em uma de suas extremidades. A outra extremidade da mola está fixa. O sistema está se movendo em um plano horizontal, e vamos usar coordenadas polares ($ r $ e $ \theta $) para descrever o movimento. O comprimento natural da mola é $ s $. Nosso objetivo é encontrar a função Lagrangeana do sistema, que é essencial para descrever a dinâmica do sistema usando a mecânica Lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função Lagrangeana $ L $ é dada pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
Vamos calcular separadamente $ T $ e $ V $.
Passo 3
Energia Cinética ($ T $)
No sistema de coordenadas polares, a energia cinética de uma partícula é dada por:
Aqui:
- $ \dot{r} $ é a velocidade radial (como o raio está mudando).
- $ \dot{\theta} $ é a velocidade angular (como o ângulo está mudando).
Passo 4
Energia Potencial ($ V $)
A energia potencial na mola é associada à sua deformação. Quando a mola está esticada ou comprimida em relação ao seu comprimento natural $ s $, a energia potencial é:
Aqui:
- $ r $ é o comprimento atual da mola.
- $ k $ é a constante elástica da mola.
Passo 5
Função Lagrangeana ($ L $)
Agora, substituímos $ T $ e $ V $ na expressão da Lagrangeana:
Simplificando, temos:
Resposta
A função Lagrangeana do sistema é: