1. O molibdênio (Mo) possui uma estrutura cristalina CCC, um raio atômico de 0,1363 \mathrm{~nm} e um peso atômico de 95,94 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule e compare sua massa específica teórica com o valor experimental.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • Estrutura cristalina: CCC (cúbica de corpo centrado).\n
  • Raio atômico: \,R = 0,1363\\ \mathrm{nm}.\n
  • Peso atômico (massa molar): \,A = 95,94\\ \mathrm{g/mol}.\n
  • Perguntas: Calcular a massa específica teórica (densidade teórica) do molibdênio usando a estrutura cristalina dada e comparar com o valor experimental.

Passo 2

Quantas átomos há por cela unitária na estrutura CCC (bcc) e por que:\n
  • Na rede cúbica de corpo centrado (CCC ou bcc) existem \,8 átomos nos vértices e \,1 átomo no centro da cela.\n
  • Cada átomo do vértice é compartilhado por \,8 células unitárias, então a contribuição total dos vértices é \,8\times\frac{1}{8}=1 átomo efetivo.\n
  • O átomo central pertence integralmente à cela, contribuindo com \,1 átomo.\n
  • Logo o número de átomos por cela é \,n=2.\n
    (Isto é importante porque a densidade será a massa desses \,n átomos dividida pelo volume da cela.)

Passo 3

Relação entre raio atômico \,R e parâmetro de rede \,a para CCC (geométrica):\n
  • Na CCC os átomos que tocam estão ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial). O comprimento da diagonal espacial é \,\sqrt{3}\,a.\n
  • Ao longo dessa diagonal encontram-se um átomo de um vértice, o átomo central e o átomo do vértice oposto; o comprimento efetivo ocupado por esferas rígidas é \,4R.\n
  • Portanto a relação é
\sqrt{3}\,a = 4R
e isolando \,a obtemos
a = \frac{4R}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Conversão de unidades do raio atômico para centímetros (para obter densidade em \mathrm{g/cm^3}):\n
  • Dado \,R = 0,1363\\ \mathrm{nm}.\n
  • Sabendo que \,1\\ \mathrm{nm} = 10^{-7}\\ \mathrm{cm}, temos
R = 0,1363\times 10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 1,363\times 10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Cálculo do parâmetro de rede \,a numericamente:\n
  • Aplicando \,a = \dfrac{4R}{\sqrt{3}} com \,R = 1,363\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}:
a = \frac{4\cdot 1,363\times10^{-8}}{\sqrt{3}}.
  • Calculando numericamente:
a \approx 3,148\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Cálculo do volume da cela unitária \,V_{\text{cel}} = a^3:\n
  • Elevando ao cubo:
V_{\text{cel}} = (3,148\times10^{-8})^{3}\\ \mathrm{cm^{3}} \approx 3,117\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Comentário didático: este é o volume físico ocupado por uma cela unitária da rede cristalina.

Passo 7

Massa de uma cela unitária (massa dos \,n átomos dentro dela):\n
  • Massa molar \,A = 95,94\\ \mathrm{g/mol} significa que 1 mol (que contém \,N_A átomos) tem massa \,A gramas. Aqui \,N_A é a constante de Avogadro, \,N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.\n
  • A massa de um átomo é \,\dfrac{A}{N_A}. Para \,n átomos a massa é \,\dfrac{nA}{N_A}.\n
  • Com \,n=2 (CCC) a massa por cela é
m_{\text{cel}} = \frac{2\cdot 95,94}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.
  • Calculando numericamente:
m_{\text{cel}} \approx 3,186\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Cálculo da densidade teórica \,\rho_{\text{teo}}:\n
  • A definição de densidade é massa por volume. Para a rede cristalina:
\rho_{\text{teo}} = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}} = \frac{\dfrac{nA}{N_A}}{a^{3}}.
  • Substituindo os valores numéricos:
\rho_{\text{teo}} = \frac{3,186\times10^{-22}}{3,117\times10^{-23}}\\ \mathrm{g/cm^{3}} \approx 10,22\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Interpretação: esse é o valor teórico esperado se os átomos forem tratados como esferas rígidas com o raio dado.

Passo 9

Comparação com o valor experimental e cálculo do desvio percentual:\n
  • Valor experimental (típico, temperatura ambiente): \,\rho_{\text{exp}} \approx 10,28\\ \mathrm{g/cm^{3}}.\n
  • Diferença absoluta:
\Delta = |\rho_{\text{exp}}-\rho_{\text{teo}}| = |10,28-10,22| = 0,06\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Erro percentual relativo (em relação ao valor experimental):
\%\text{dif} = \frac{\Delta}{\rho_{\text{exp}}}\times 100\% \approx \frac{0,06}{10,28}\times100\% \approx 0,58\%.
  • Comentário didático e motivador: essa discrepância é muito pequena (menos de 1\%); diferenças tão pequenas podem ser causadas por imprecisão no valor do raio atômico, imperfeições na amostra, impurezas, variação térmica, ou pelo modelo simplificado de esferas rígidas. Bom trabalho — esse tipo de cálculo aparece bastante em provas e a lógica é sempre a mesma.

Resposta

\rho_{\text{teo}} \approx 10,22\\ \mathrm{g/cm^{3}}\n
\rho_{\text{exp}} \approx 10,28\\ \mathrm{g/cm^{3}} \quad(\text{diferença } \approx 0,06\\ \mathrm{g/cm^{3}}, \;0,58\%)ç

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