1. Calcule o número de átomos, o volume da célula unitária em função da aresta, e o fator de empacotamento de uma estrutura CCC.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre uma estrutura CCC (cúbica de corpo centrado): (1) o número de átomos por célula unitária, (2) o volume da célula unitária em função da aresta a, e (3) o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF). As informações implícitas que vamos usar: na estrutura CCC há átomos nos oito vértices da célula cúbica e um átomo no centro do cubo; todos os átomos são considerados esferas duras idênticas (mesmo raio r).

Passo 2

Calcular o número de átomos por célula unitária contando as contribuições parciais: cada átomo no vértice pertence a 8 células unitárias vizinhas, então cada vértice contribui com 1/8 de átomo para a célula considerada; são 8 vértices. Além disso há um átomo inteiro no centro da célula que pertence somente a essa célula. Portanto o número total de átomos por célula é
8\cdot\frac{1}{8} + 1 = 1 + 1 = 2.

Passo 3

Determinar a relação geométrica entre a aresta a da célula cúbica e o raio atômico r. Na estrutura CCC, ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial que liga dois vértices opostos) passam o centro de um átomo de vértice, o átomo central e o átomo do vértice oposto. Como o átomo central toca os átomos dos vértices, a distância entre o centro de um vértice e o centro do átomo central é 2r; a distância total entre vértices opostos (a diagonal espacial) é então 2r+2r=4r. A diagonal espacial em termos da aresta vale \sqrt{3}\,a. Assim temos a igualdade
\sqrt{3}\,a = 4r.

Passo 4

Isolar r em função de a. A partir de \sqrt{3}\,a = 4r temos
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Aqui r é o raio atômico em função da aresta a.

Passo 5

Volume da célula unitária: por definição, a célula cúbica de aresta a tem volume
V_{\text{célula}} = a^3.é

Passo 6

Definir e calcular o fator de empacotamento (APF). O APF é a fração do volume da célula ocupada pelos átomos (modelados como esferas). Assim
\text{APF}=\frac{\text{volume total das esferas na célula}}{\text{volume da célula}}.éé
Temos 2 átomos por célula e o volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^3. Então
\text{APF}=\frac{2\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{a^3}.
Substituindo r = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a em r^3:
r^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)^3 = \frac{(\sqrt{3})^3}{4^3}a^3 = \frac{3\sqrt{3}}{64}a^3.
Agora substituir em APF:
\text{APF}=\frac{2\cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{64}a^3}{a^3}.
Simplificando passo a passo: primeiro 2\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}; multiplicando por \dfrac{3\sqrt{3}}{64} cancela o 3, ficando \dfrac{8\sqrt{3}}{64}=\dfrac{\sqrt{3}}{8}. Portanto
\text{APF}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.

Passo 7

Avaliar numericamente o APF para termos uma noção prática. Usando \pi\approx 3,14159 e \sqrt{3}\approx 1,73205,
\text{APF}\approx \frac{3,14159\cdot 1,73205}{8}\approx 0,6802.
Interpretação rápida: cerca de 68{,}0\% do volume da célula está ocupado pelos átomos (modelo de esferas duras).

Resposta

Número de átomos por célula unitária: 2
Volume da célula unitária em função da aresta a: V_{\text{célula}}=a^3é
Fator de empacotamento (APF): \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,6802

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