- Calcule o número de átomos, o volume da célula unitária em função da aresta, e o fator de empacotamento de uma estrutura CCC.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre uma estrutura CCC (cúbica de corpo centrado): (1) o número de átomos por célula unitária, (2) o volume da célula unitária em função da aresta
, e (3) o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF). As informações implícitas que vamos usar: na estrutura CCC há átomos nos oito vértices da célula cúbica e um átomo no centro do cubo; todos os átomos são considerados esferas duras idênticas (mesmo raio
).
Passo 2
Calcular o número de átomos por célula unitária contando as contribuições parciais: cada átomo no vértice pertence a 8 células unitárias vizinhas, então cada vértice contribui com
de átomo para a célula considerada; são 8 vértices. Além disso há um átomo inteiro no centro da célula que pertence somente a essa célula. Portanto o número total de átomos por célula é
Passo 3
Determinar a relação geométrica entre a aresta
da célula cúbica e o raio atômico
. Na estrutura CCC, ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial que liga dois vértices opostos) passam o centro de um átomo de vértice, o átomo central e o átomo do vértice oposto. Como o átomo central toca os átomos dos vértices, a distância entre o centro de um vértice e o centro do átomo central é
; a distância total entre vértices opostos (a diagonal espacial) é então
. A diagonal espacial em termos da aresta vale
. Assim temos a igualdade
Passo 4
Isolar
em função de
. A partir de
temos
Aqui
é o raio atômico em função da aresta
.
Passo 5
Volume da célula unitária: por definição, a célula cúbica de aresta
tem volume
Passo 6
Definir e calcular o fator de empacotamento (APF). O APF é a fração do volume da célula ocupada pelos átomos (modelados como esferas). Assim
Temos
átomos por célula e o volume de uma esfera de raio
é
. Então
Substituindo
em
:
Agora substituir em APF:
Simplificando passo a passo: primeiro
; multiplicando por
cancela o
, ficando
. Portanto
Passo 7
Avaliar numericamente o APF para termos uma noção prática. Usando
e
,
Interpretação rápida: cerca de
do volume da célula está ocupado pelos átomos (modelo de esferas duras).
Resposta
Número de átomos por célula unitária:
Volume da célula unitária em função da aresta :
Fator de empacotamento (APF):
Volume da célula unitária em função da aresta
Fator de empacotamento (APF):