O momento de inércia de um corpo qué oscila como um pêndulo de torção é igual a 12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2}. O período das pequenas oscilações de torção é igual a 0,5 \mathrm{~s}. Calcule o módulo de torção do material.

Passo 1

O enunciado diz que temos um corpo que oscila como pêndulo de torção com momento de inércia I = 12\:\mathrm{kg\cdot m^2} e período das pequenas oscilações T = 0,5\:\mathrm{s}. Precisamos encontrar a constante de torção \kappa do material. O conteúdo é pêndulo de torção e vamos usar a relação entre período, momento de inércia e constante de torção.

Passo 2

A teoria do pêndulo de torção mostra que o período está relacionado a I e \kappa por
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}.
Para isolar \kappa, elevamos ao quadrado e resolvemos:
T^2 = 4\pi^2\frac{I}{\kappa} \quad\Longrightarrow\quad \kappa = \frac{4\pi^2\,I}{T^2}.

Passo 3

Substituímos I = 12\:\mathrm{kg\cdot m^2} e T = 0,5\:\mathrm{s} na expressão de \kappa:
\kappa = \frac{4\pi^2 \times 12}{(0,5)^2} = \frac{48\pi^2}{0,25} = 192\,\pi^2.

Passo 4

Para obter o valor numérico, usamos \pi^2 \approx 9,8696:
\kappa \approx 192 \times 9,8696 \approx 1895\:\mathrm{N\cdot m/rad}.

Resposta

\kappa \approx 1{,}9\times10^3\:\mathrm{N\cdot m/rad}

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