O momento de inércia I é uma medida quantitativa da inércia rotacional de um corpo rígido e depende da forma como a sua massa está distribuída em torno do eixo de rotação:
I=integral r^2 d m
sendo d m um elemento de massa do corpo e r a distância entre d m e o eixo de rotação. A integral deve ser calculada ao longo de toda a extensão do corpo e as unidades de I no SI são kg cdot m^2.
Considerando que existe um número infinito de eixos em torno dos quais um corpo rígido pode girar, podemos concluir que existe um número infinito de momentos de inércia que podem ser associados a um corpo rígido.
O teorema dos eixos paralelos estabelece uma relação bastante útil entre o momento de inércia para um eixo que passa pelo centro de massa, Ic m, e o momento de inércia para um eixo paralelo ao mesmo, Ip :
Ip=Ic m+M d^2,
sendo d a distância entre os eixos de rotação e M a massa total do corpo.
Demonstre o teorema dos eixos paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A questão trata do momento de inércia, que é basicamente uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral é:
I = integral r^2 , dm
Aqui, $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação. O exercício quer que a gente demonstre o teorema dos eixos paralelos, que relaciona o momento de inércia em um eixo qualquer com o momento de inércia no centro de massa do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. É o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para fins de cálculo de inércia. O momento de inércia no centro de massa é $ I_{cm} $.

Passo 3

Agora, imagine que temos dois eixos paralelos:
  1. Um eixo que passa pelo centro de massa (vamos chamar de eixo $ cm $).
  2. Outro eixo paralelo a esse, a uma distância $ d $ do eixo $ cm $.
Queremos encontrar o momento de inércia $ I_p $ em relação a esse segundo eixo.

Passo 4

Para isso, vamos relacionar as distâncias dos elementos de massa a cada um dos eixos. Se $ r $ é a distância do elemento de massa ao eixo $ cm $, então a distância $ r’ $ até o eixo paralelo será:
r
Porém, pelo teorema de Pitágoras, na verdade:
cm
Mas como os eixos são paralelos e a distância $ d $ é constante para todos os pontos, podemos simplificar a relação.

Passo 5

Vamos expressar o momento de inércia no eixo paralelo $ I_p $ usando a definição:
Ip
Substituindo $ r’^2 = r^2 + d^2 $:
Ip = integral r'^2 , dm

Passo 6

Agora, separamos a integral:
Ip = integral r^2 , dm + integral d^2 , dm
A primeira parte $ \int r^2 , dm $ é exatamente o momento de inércia no centro de massa $ I_{cm} $.

Passo 7

A segunda parte $ \int d^2 , dm $ pode ser simplificada já que $ d $ é constante:
integral d^2 , dm
Onde $ M $ é a massa total do objeto.

Passo 8

Então, substituindo de volta:
Ip = Icm + M d^2
E assim, mostramos que o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo do centro de massa é igual ao momento de inércia no centro de massa mais a massa total vezes a distância ao quadrado entre os eixos.

Resposta

Demonstramos que o momento de inércia em um eixo paralelo ao centro de massa é:
Ip = Icm + M d^2

Exercícios relacionados