Para o tensor deformação [\varepsilon] abaixo, determine:
a) Componentes principais [\varepsilon]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 0 \\\\ 7 & -9 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \times 10^{-6}
b) Cossenos diretores das direções principais
Passo 1
O enunciado dá o tensor deformação (simétrico) e pede duas coisas:
a) as componentes principais (ou seja, os autovalores do tensor) para
b) os cossenos diretores das direções principais (ou seja, os autovetores normalizados — componentes dos vetores unitários nas direções principais).
Informações relevantes do enunciado: a matriz é simétrica e tem forma de bloco (um bloco 2\times2 no canto superior esquerdo e um elemento isolado na terceira direção). Não há mais informações faltando.]
Passo 2
Conceito e método (aula rapidinha, eu do seu lado): para um tensor (matriz) simétrico [\varepsilon] as componentes principais são os autovalores (eigenvalues) da matriz — isso significa resolver o polinômio característico
\det([\varepsilon]-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade e \lambda são os autovalores. Cada autovalor tem um autovetor associado, solução de
([\varepsilon]-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Os cossenos diretores são as componentes desse autovetor depois de normalizá‑lo (fazer o vetor ter norma 1). Como a matriz é simétrica, os autovetores são ortogonais entre si — bom para garantir direções perpendiculares.
Passo 3
Explorando a estrutura do problema (aproveitando a forma em bloco): dado
e o elemento isolado 3 na posição (3,3). Portanto os autovalores de [\varepsilon] são: os autovalores de B e o valor \lambda=3\times10^{-6}. Vamos então achar os autovalores de B.]
Passo 4
Calcular os autovalores do bloco B resolvendo o polinômio característico de B:
Esses são os autovalores do bloco B. Lembre que todos os autovalores da matriz [\varepsilon] têm o fator multiplicativo 10^{-6}. Além disso, o terceiro autovalor é simplesmente \lambda_{c}=3 (do elemento isolado), ou seja 3\times10^{-6}.
Passo 6
Resumo dos autovalores (componentes principais) antes de normalizar a escala 10^{-6}:
(Em geral costuma-se ordenar \varepsilon_1\ge\varepsilon_2\ge\varepsilon_3; se quisermos ordenar em ordem decrescente teremos 5,4022469\times10^{-6},\;3\times10^{-6},\;-12,4022469\times10^{-6}.)
Passo 7
Agora vamos achar os autovetores correspondentes para obter os cossenos diretores. Para as raízes do bloco B os autovetores têm a forma (x,y,0) porque a terceira componente é 0 no bloco. Para um autovalor \lambda do bloco B a equação é
Note que \mathbf{u}_a e \mathbf{u}_b são ortogonais (produto interno aproximadamente zero), como esperado para matriz simétrica.]
Passo 10
Autovetor correspondente ao autovalor isolado \lambda_c=3 (terceira direção): a própria base canônica é autovetor, pois a matriz tem entrada 3 em (3,3) e zeros na coluna/linha 3 com as outras posições. Logo um autovetor unitário é