Mostrar que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade abaixo:
Informações/hipóteses que vamos usar (assumimos que a questão foi formulada nesse sentido):
-
é o delta de Kronecker, ou seja a função que vale se e se . - Os índices
variam em um mesmo conjunto finito (por exemplo ). - Repetição de um índice, como o
aqui, indica soma sobre esse índice (convenção de soma de Einstein): significa . -
é o elemento neutro multiplicativo, isto é, o número (ou, em contextos matriciais, a identidade). Portanto é simplesmente multiplicado por .
Passo 2
Definição e propriedade básica do delta de Kronecker. Vou explicar devagar porque isso é o coração do problema.
- Por definição,
- Uma propriedade útil (que usamos muito em notação com índices) é a propriedade seletora:
ou, em notação com indexação repetida,
. Isso acontece porque a soma só “pega” o termo com
.]
Passo 3
Explicando a soma que aparece no produto
.
- A expressão
tem o índice repetido, então significa
- Para cada par fixo
avaliamos a soma sobre todos os valores possíveis de . Mas, graças ao delta, a maioria dos termos da soma é zero — só alguns podem ser não nulos.
Passo 4
Avaliação direta da soma usando a propriedade seletora.
- Para um
qualquer, é zero a menos que . Logo, na soma só o termo com pode contribuir. - Substituindo
nesse único termo não nulo obtemos
- Agora note que
para qualquer (porque os índices são iguais), então
- Portanto concluímos
Passo 5
Interpretação matricial (intuição extra, útil na prova): se
é a matriz identidade com entradas
, então o produto matricial
tem entradas
mas
, logo
. Isso confirma o resultado anterior: a soma dá
.
Passo 6
Relacionando com o
do enunciado.
- Como explicado no Passo 1,
é o elemento neutro multiplicativo (o ). Multiplicar por não altera o valor, então podemos escrever o resultado final também como
- Isso é apenas a mesma igualdade
escrita multiplicando por , que deixa a expressão idêntica.