Mostrar que:
\delta_{i j} \delta_{j k}=\delta_{i k} \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade abaixo:
\delta_{i j}\delta_{j k}=\delta_{i k}\mathrm{e}.
Informações/hipóteses que vamos usar (assumimos que a questão foi formulada nesse sentido):
  • \delta_{ab} é o delta de Kronecker, ou seja a função que vale 1 se a=b e 0 se a\neq b.
  • Os índices i,j,k variam em um mesmo conjunto finito (por exemplo \{1,\dots,n\}).
  • Repetição de um índice, como o j aqui, indica soma sobre esse índice (convenção de soma de Einstein): \delta_{i j}\delta_{j k} significa \sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k}.
  • \mathrm{e} é o elemento neutro multiplicativo, isto é, o número 1 (ou, em contextos matriciais, a identidade). Portanto \delta_{i k}\mathrm{e} é simplesmente \delta_{i k} multiplicado por 1.

Passo 2

Definição e propriedade básica do delta de Kronecker. Vou explicar devagar porque isso é o coração do problema.
  • Por definição,
\delta_{ab}=\begin{cases} 1 & \text{se }a=b,\\[4pt] 0 & \text{se }a\neq b. \end{cases}
  • Uma propriedade útil (que usamos muito em notação com índices) é a propriedade seletora:
\sum_{b}\delta_{a b}x_{b}=x_{a},
ou, em notação com indexação repetida, \delta_{a b}x_{b}=x_{a}. Isso acontece porque a soma só “pega” o termo com b=a.]

Passo 3

Explicando a soma que aparece no produto \delta_{i j}\delta_{j k}.
  • A expressão \delta_{i j}\delta_{j k} tem o índice j repetido, então significa
\sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k}.
  • Para cada par fixo (i,k) avaliamos a soma sobre todos os valores possíveis de j. Mas, graças ao delta, a maioria dos termos da soma é zero — só alguns podem ser não nulos.

Passo 4

Avaliação direta da soma usando a propriedade seletora.
  • Para um j qualquer, \delta_{i j} é zero a menos que j=i. Logo, na soma \sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k} só o termo com j=i pode contribuir.
  • Substituindo j=i nesse único termo não nulo obtemos
\sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k}=\delta_{i i}\,\delta_{i k}.
  • Agora note que \delta_{i i}=1 para qualquer i (porque os índices são iguais), então
\delta_{i i}\,\delta_{i k}=1\cdot\delta_{i k}=\delta_{i k}.
  • Portanto concluímos
\sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k}=\delta_{i k}.

Passo 5

Interpretação matricial (intuição extra, útil na prova): se I é a matriz identidade com entradas I_{ab}=\delta_{ab}, então o produto matricial I\cdot I tem entradas
(I\cdot I)_{ik}=\sum_{j}I_{ij}I_{jk}=\sum_{j}\delta_{ij}\delta_{jk},
mas I\cdot I=I, logo (I\cdot I)_{ik}=I_{ik}=\delta_{ik}. Isso confirma o resultado anterior: a soma dá \delta_{ik}.

Passo 6

Relacionando com o \mathrm{e} do enunciado.
  • Como explicado no Passo 1, \mathrm{e} é o elemento neutro multiplicativo (o 1). Multiplicar por \mathrm{e} não altera o valor, então podemos escrever o resultado final também como
\sum_{j}\delta_{i j}\delta_{j k}=\delta_{i k}\mathrm{e}.
  • Isso é apenas a mesma igualdade \delta_{i k} escrita multiplicando por 1, que deixa a expressão idêntica.

Resposta

\delta_{i j}\delta_{j k}=\delta_{i k}\mathrm{e}

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