3.32** Mostre que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme girando em torno de um diâmetro é
. O somatório (3.31) deve ser substituído por uma integral, que é bem mais fácil quando em coordenadas esféricas polares, com o eixo de rotação considerado como sendo o eixo z. O elemento de volume é
. (As coordenadas esféricas polares estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com elas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de uma esfera sólida e de densidade uniforme, de massa
e raio
, girando em torno de um diâmetro, vale
. Foi dada a indicação de trocar a soma por uma integral e usar coordenadas esféricas polares com o eixo de rotação sendo o eixo
. Também foi dado o elemento de volume em coordenadas esféricas:
Informações relevantes fornecidas: massa total
, raio
, esfera sólida e uniforme, eixo de rotação = eixo
, e a expressão para
. A nossa tarefa é montar e calcular a integral do momento de inércia.
Passo 2
Definição do momento de inércia para um corpo contínuo uniforme e explicação das variáveis usadas. O momento de inércia relativo a um eixo é
onde
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação. Para um corpo de densidade volumétrica uniforme
, temos
onde
é a massa por unidade de volume (constante porque a esfera é homogênea). Vou explicar o significado de cada símbolo:
-
é a coordenada radial (distância do centro), -
é o ângulo polar medido a partir do eixo , -
é o ângulo azimutal em torno do eixo , -
é a distância do ponto ao eixo .
Passo 3
Determinar
em coordenadas esféricas. Visualize um ponto com coordenadas
. A projeção desse ponto no plano perpendicular ao eixo
tem raio
. Logo
Portanto, o integrando
torna-se
.
Passo 4
Expressar
usando a densidade uniforme. A densidade volumétrica
é a massa total dividida pelo volume da esfera:
Então
Passo 5
Montar a integral do momento de inércia substituindo
e
. Temos
Agrupando fatores em cada variável:
Expliquei: os limites são
,
,
.
Passo 6
Calcular a integral em
:
Passo 7
Calcular a integral em
: precisamos de
Use a identidade
e a substituição
,
. Então
Agora calcule:
Portanto
Passo 8
Calcular a integral em
:
Passo 9
Combinar os resultados das três integrais e multiplicar pela densidade
:
Passo 10
Substituir
na expressão para
:
Simplifique passo a passo: cancele
,
Calcule o coeficiente numérico:
Portanto