3.32** Mostre que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme girando em torno de um diâmetro é \frac{2}{5} M R^{2}. O somatório (3.31) deve ser substituído por uma integral, que é bem mais fácil quando em coordenadas esféricas polares, com o eixo de rotação considerado como sendo o eixo z. O elemento de volume é d V=r^{2} d r \operatorname{sen} \theta d \theta d \varphi. (As coordenadas esféricas polares estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com elas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de uma esfera sólida e de densidade uniforme, de massa M e raio R, girando em torno de um diâmetro, vale \frac{2}{5} M R^{2}. Foi dada a indicação de trocar a soma por uma integral e usar coordenadas esféricas polares com o eixo de rotação sendo o eixo z. Também foi dado o elemento de volume em coordenadas esféricas:
dV = r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.
Informações relevantes fornecidas: massa total M, raio R, esfera sólida e uniforme, eixo de rotação = eixo z, e a expressão para dV. A nossa tarefa é montar e calcular a integral do momento de inércia.

Passo 2

Definição do momento de inércia para um corpo contínuo uniforme e explicação das variáveis usadas. O momento de inércia relativo a um eixo é
I=\int r_{\perp}^{2}\,dm,
onde r_{\perp} é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação. Para um corpo de densidade volumétrica uniforme \rho, temos
dm=\rho\, dV,
onde \rho é a massa por unidade de volume (constante porque a esfera é homogênea). Vou explicar o significado de cada símbolo:
  • r é a coordenada radial (distância do centro),
  • \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z,
  • \varphi é o ângulo azimutal em torno do eixo z,
  • r_{\perp} é a distância do ponto ao eixo z.

Passo 3

Determinar r_{\perp} em coordenadas esféricas. Visualize um ponto com coordenadas (r,\theta,\varphi). A projeção desse ponto no plano perpendicular ao eixo z tem raio r\sin\theta. Logo
r_{\perp}=r\sin\theta.
Portanto, o integrando r_{\perp}^{2} torna-se (r\sin\theta)^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta.

Passo 4

Expressar dm usando a densidade uniforme. A densidade volumétrica \rho é a massa total dividida pelo volume da esfera:
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{3M}{4\pi R^{3}}.
Então
dm=\rho\, dV=\rho\, r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi.

Passo 5

Montar a integral do momento de inércia substituindo r_{\perp}^{2} e dm. Temos
I=\int r_{\perp}^{2}\, dm = \int_{V} (r\sin\theta)^{2} \left(\rho\, r^{2}\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi\right).
Agrupando fatores em cada variável:
I=\rho \int_{0}^{2\pi}\! d\varphi \int_{0}^{\pi}\! \sin^{3}\theta\, d\theta \int_{0}^{R}\! r^{4}\, dr.
Expliquei: os limites são \varphi\in[0,2\pi], \theta\in[0,\pi], r\in[0,R].

Passo 6

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\! d\varphi = 2\pi.

Passo 7

Calcular a integral em \theta: precisamos de
\int_{0}^{\pi}\! \sin^{3}\theta\, d\theta.
Use a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\, d\theta. Então
\int_{0}^{\pi}\! \sin^{3}\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi}\! \sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\, d\theta = \int_{1}^{-1}\! -(1-u^{2})\, du = \int_{-1}^{1}\! (1-u^{2})\, du.
Agora calcule:
\int_{-1}^{1}\! (1-u^{2})\, du = \left[u - \frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\! \sin^{3}\theta\, d\theta = \frac{4}{3}.

Passo 8

Calcular a integral em r:
\int_{0}^{R}\! r^{4}\, dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{5}}{5}.

Passo 9

Combinar os resultados das três integrais e multiplicar pela densidade \rho:
I = \rho \cdot (2\pi) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{R^{5}}{5}\right) = \rho \cdot \frac{8\pi}{15}\, R^{5}.

Passo 10

Substituir \rho=\dfrac{3M}{4\pi R^{3}} na expressão para I:
I = \left(\frac{3M}{4\pi R^{3}}\right)\cdot \frac{8\pi}{15}\, R^{5}.
Simplifique passo a passo: cancele \pi,
I = M \cdot \frac{3}{4 R^{3}} \cdot \frac{8}{15}\, R^{5} = M \cdot \frac{3\cdot 8}{4\cdot 15}\, R^{2}.
Calcule o coeficiente numérico:
\frac{3\cdot 8}{4\cdot 15}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}.
Portanto
I=\frac{2}{5} M R^{2}.

Resposta

\dfrac{2}{5} M R^{2}

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