3.30** Considere um corpo girando com velocidade angular
em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo
e use coordenadas polares cilíndricas
,
para especificar as posições das partículas
que formam o corpo. (a) Mostre que a velocidade da partícula
é
na direção
. (b) Como consequência, mostre que a componente
do momento angular
da partícula
é
. (c) Mostre que a componente
do momento angular total pode ser escrita como
, onde
é o momento de inércia (para o eixo em questão),
Passo 1
O enunciado dá um corpo rígido que gira com velocidade angular
em torno do eixo
. As posições das partículas que compõem o corpo são dadas em coordenadas cilíndricas por
para
. O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que a velocidade da partícula
é
na direção
.
(b) Mostrar que a componente
do momento angular da partícula
é
.
(c) Mostrar que a componente
do momento angular total pode ser escrita como
, com
Informações relevantes dadas: o eixo de rotação é o eixo
, as coordenadas das partículas são
e a velocidade angular do corpo é
. A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as bases de coordenadas cilíndricas e como elas dependem de
. As versoras (vetores unitários) em coordenadas cilíndricas são
Estas expressões significam que
aponta radialmente para fora no plano
,
é tangencial (ortogonal a
) e
é o vetor unitário do eixo
. Note que
e
dependem da coordenada angular
, então suas derivadas temporais envolvem
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas temporais das versoras (mostro passo a passo): primeiro, derive componente a componente
Analogamente
Estas relações são muito úteis e são consequência direta da dependência angular das versoras.
Passo 4
Escrevemos o vetor posição da partícula
em coordenadas cilíndricas:
Agora aplicamos a regra do produto para derivar em relação ao tempo e obter a velocidade:
Usando a relação
(substituindo
por
quando necessário) obtemos a forma geral
Passo 5
Para um corpo rígido que gira com velocidade angular constante
em torno do eixo
, as coordenadas
e
(distâncias em radial e axial) são constantes no tempo para cada partícula, e a coordenada angular varia como
constante, logo
Substituindo esses valores na expressão da velocidade obtemos
Isto responde a (a): a velocidade é tangencial (na direção
) com magnitude
. Intuitivamente: cada partícula descreve um círculo de raio
, velocidade linear = raio
velocidade angular.
Passo 6
Agora calculamos o momento angular da partícula
. Por definição
Substituindo
e
obtemos
Distribuindo o produto vetorial:
Conhecendo as relações entre as versoras:
vemos que o primeiro termo está na direção
e o segundo termo está na direção radial
. Como nos interessa a componente
do momento angular, apenas o primeiro termo contribui. Assim
Isto responde (b).
Passo 7
Finalmente, a componente
do momento angular total do corpo é a soma das componentes
de todas as partículas:
Definindo o momento de inércia em torno do eixo
como
obtemos a forma compacta
Isto responde (c). Esse resultado tem interpretação física clara: cada partícula contribui ao momento de inércia com
; a soma vezes
dá o momento angular total em torno do eixo.
Resposta
(a)
(b)
(c) , com
(b)
(c)