3.30** Considere um corpo girando com velocidade angular \omega em torno de eixo fixo. (Você pode pensar em uma porta girando em torno do eixo definido pelas suas dobradiças.) Considere o eixo de rotação como sendo o eixo z e use coordenadas polares cilíndricas \rho_{\alpha}, \phi_{\alpha}, z_{\alpha} para especificar as posições das partículas \alpha=1, \cdots, N que formam o corpo. (a) Mostre que a velocidade da partícula \alpha é \rho_{\alpha} \omega na direção \varphi. (b) Como consequência, mostre que a componente z do momento angular \ell_{\alpha} da partícula \alpha é m_{\alpha} \rho_{\alpha}^{2} \omega. (c) Mostre que a componente L_{z} do momento angular total pode ser escrita como L_{z}=I \omega, onde I é o momento de inércia (para o eixo em questão),
I=\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha} \rho_{\alpha}^{2}

Passo 1

O enunciado dá um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega em torno do eixo z. As posições das partículas que compõem o corpo são dadas em coordenadas cilíndricas por \rho_{\alpha},\phi_{\alpha},z_{\alpha} para \alpha=1,\dots,N. O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que a velocidade da partícula \alpha é \rho_{\alpha}\omega na direção \varphi.
(b) Mostrar que a componente z do momento angular da partícula \alpha é m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}\omega.
(c) Mostrar que a componente L_{z} do momento angular total pode ser escrita como L_{z}=I\omega, com
I=\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}.
Informações relevantes dadas: o eixo de rotação é o eixo z, as coordenadas das partículas são \rho_{\alpha},\phi_{\alpha},z_{\alpha} e a velocidade angular do corpo é \omega. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as bases de coordenadas cilíndricas e como elas dependem de \varphi. As versoras (vetores unitários) em coordenadas cilíndricas são
\hat{\boldsymbol{\rho}}=(\cos\varphi,\;\sin\varphi,\;0), \qquad \hat{\boldsymbol{\varphi}}=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0), \qquad \hat{\mathbf{z}}=(0,\;0,\;1).
Estas expressões significam que \hat{\boldsymbol{\rho}} aponta radialmente para fora no plano xy, \hat{\boldsymbol{\varphi}} é tangencial (ortogonal a \hat{\boldsymbol{\rho}}) e \hat{\mathbf{z}} é o vetor unitário do eixo z. Note que \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} dependem da coordenada angular \varphi, então suas derivadas temporais envolvem \dot{\varphi}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas temporais das versoras (mostro passo a passo): primeiro, derive componente a componente
\frac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\rho}} =\frac{d}{dt}(\cos\varphi,\sin\varphi,0) =(-\sin\varphi\,\dot{\varphi},\;\cos\varphi\,\dot{\varphi},\;0) =\dot{\varphi}\,(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)=\dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Analogamente
\frac{d}{dt}\hat{\boldsymbol{\varphi}} =\frac{d}{dt}(-\sin\varphi,\cos\varphi,0) =(-\cos\varphi\,\dot{\varphi},\;-\sin\varphi\,\dot{\varphi},\;0) =-\dot{\varphi}\,(\cos\varphi,\sin\varphi,0)=-\dot{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.
Estas relações são muito úteis e são consequência direta da dependência angular das versoras.

Passo 4

Escrevemos o vetor posição da partícula \alpha em coordenadas cilíndricas:
\mathbf{r}_{\alpha}=\rho_{\alpha}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+z_{\alpha}\,\hat{\mathbf{z}}.
Agora aplicamos a regra do produto para derivar em relação ao tempo e obter a velocidade:
\mathbf{v}_{\alpha}=\frac{d\mathbf{r}_{\alpha}}{dt} =\dot{\rho}_{\alpha}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho_{\alpha}\,\frac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt}+\dot{z}_{\alpha}\,\hat{\mathbf{z}}.
Usando a relação \dfrac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt}=\dot{\varphi}_{\alpha}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} (substituindo \varphi por \phi_{\alpha} quando necessário) obtemos a forma geral
\mathbf{v}_{\alpha}=\dot{\rho}_{\alpha}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho_{\alpha}\,\dot{\varphi}_{\alpha}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}+\dot{z}_{\alpha}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 5

Para um corpo rígido que gira com velocidade angular constante \omega em torno do eixo z, as coordenadas \rho_{\alpha} e z_{\alpha} (distâncias em radial e axial) são constantes no tempo para cada partícula, e a coordenada angular varia como \phi_{\alpha}(t)=\omega t+ constante, logo
\dot{\rho}_{\alpha}=0,\qquad \dot{z}_{\alpha}=0,\qquad \dot{\varphi}_{\alpha}=\omega.
Substituindo esses valores na expressão da velocidade obtemos
\mathbf{v}_{\alpha}=\rho_{\alpha}\,\omega\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
Isto responde a (a): a velocidade é tangencial (na direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}) com magnitude \rho_{\alpha}\omega. Intuitivamente: cada partícula descreve um círculo de raio \rho_{\alpha}, velocidade linear = raio \times velocidade angular.

Passo 6

Agora calculamos o momento angular da partícula \alpha. Por definição
\boldsymbol{\ell}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}\times m_{\alpha}\mathbf{v}_{\alpha}.
Substituindo \mathbf{r}_{\alpha}=\rho_{\alpha}\hat{\boldsymbol{\rho}}+z_{\alpha}\hat{\mathbf{z}} e \mathbf{v}_{\alpha}=\rho_{\alpha}\omega\hat{\boldsymbol{\varphi}} obtemos
\boldsymbol{\ell}_{\alpha} =m_{\alpha}\big(\rho_{\alpha}\hat{\boldsymbol{\rho}}+z_{\alpha}\hat{\mathbf{z}}\big)\times\big(\rho_{\alpha}\omega\hat{\boldsymbol{\varphi}}\big).
Distribuindo o produto vetorial:
\boldsymbol{\ell}_{\alpha} =m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}\omega\;(\hat{\boldsymbol{\rho}}\times\hat{\boldsymbol{\varphi}}) + m_{\alpha}\rho_{\alpha}z_{\alpha}\omega\;(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\boldsymbol{\varphi}}).
Conhecendo as relações entre as versoras:
\hat{\boldsymbol{\rho}}\times\hat{\boldsymbol{\varphi}}=\hat{\mathbf{z}},\qquad \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\hat{\boldsymbol{\rho}},
vemos que o primeiro termo está na direção \hat{\mathbf{z}} e o segundo termo está na direção radial \hat{\boldsymbol{\rho}}. Como nos interessa a componente z do momento angular, apenas o primeiro termo contribui. Assim
\ell_{z,\alpha}=(\boldsymbol{\ell}_{\alpha})\cdot\hat{\mathbf{z}} = m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}\omega.
Isto responde (b).

Passo 7

Finalmente, a componente z do momento angular total do corpo é a soma das componentes z de todas as partículas:
L_{z}=\sum_{\alpha=1}^{N}\ell_{z,\alpha} =\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}\omega =\omega\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}.
Definindo o momento de inércia em torno do eixo z como
I=\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2},
obtemos a forma compacta
L_{z}=I\,\omega.
Isto responde (c). Esse resultado tem interpretação física clara: cada partícula contribui ao momento de inércia com m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}; a soma vezes \omega dá o momento angular total em torno do eixo.

Resposta

(a) \mathbf{v}_{\alpha}=\rho_{\alpha}\,\omega\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}
(b) \ell_{z,\alpha}=m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}\omega
(c) L_{z}=I\omega, com I=\displaystyle\sum_{\alpha=1}^{N} m_{\alpha}\rho_{\alpha}^{2}

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