Mostrar que a função do tipo
É solução da equação do movimento do oscilador harmônico simples.
(onde
, sendo
a massa da partícula e sendo
a constante elástica)
(onde
Passo 1
O enunciado dá a função de movimento
e pede para mostrar que ela é solução da equação do oscilador harmônico simples, onde estágios importantes são:
- a equação do movimento a verificar é
; - foi fornecido que
; -
é a massa, é a constante elástica, é a amplitude e é a fase inicial.
O objetivo concreto: calcular, substituir na equação e mostrar que a soma é identicamente zero para dado.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a equação que queremos satisfazer:
Aqui
é a segunda derivada temporal de
, ou seja a aceleração. A ideia é calcular as derivadas de
e substituir nesta expressão.
Passo 3
Derivada primeira: use a regra da cadeia. A derivada de
é
. No nosso caso
e
. Assim,
Portanto
Passo 4
Derivada segunda: derive
novamente. Novamente aplicamos a regra da cadeia à função
; a derivada de
é
. Assim,
Reorganizando,
Passo 5
Note que
é exatamente
. Portanto podemos escrever a segunda derivada em termos de
:
Isto é uma simplificação muito útil: a aceleração é proporcional e contrária ao deslocamento, com constante
.
Passo 6
Substituindo
na equação
obtemos
Para que isto seja zero para todo
(isto é, para toda função
da forma dada), devemos ter o fator entre parênteses nulo.
Passo 7
Usando a relação fornecida
, obtemos
. Multiplicando ambos os lados por
dá
. Substituindo esse resultado no fator acima:
Logo a combinação é zero e, portanto,
para todo
. Concluímos que a função dada satisfaz exatamente a equação do oscilador harmônico simples.
Passo 8
Interpretação e como usar na prova (dicas práticas):
-
é a amplitude máxima; é a fase inicial que ajusta onde a oscilação começa no tempo . - Se forem dadas condições iniciais
e , pode-se determinar e assim:
Dessas duas equações segue
onde
é a versão do arco-tangente que garante o quadrante correto da fase (na prova pode usar
com cuidado de sinais e casos especiais).
- Alternativa frequentemente usada: escrever a solução na forma
e então transformar para a forma de amplitude-fase quando convier.