Mostrar que a função do tipo
x(t)=x_{m} \operatorname{sen}(\omega t+\Phi)
É solução da equação do movimento do oscilador harmônico simples.
(onde \boldsymbol{\omega}=\sqrt{\boldsymbol{k} / \boldsymbol{m}}, sendo \boldsymbol{m} a massa da partícula e sendo \boldsymbol{k} a constante elástica)

Passo 1

O enunciado dá a função de movimento
x(t)=x_{m}\sin(\omega t+\Phi)
e pede para mostrar que ela é solução da equação do oscilador harmônico simples, onde estágios importantes são:
  • a equação do movimento a verificar é m\ddot{x}+kx=0;
  • foi fornecido que \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}};
  • m é a massa, k é a constante elástica, x_{m} é a amplitude e \Phi é a fase inicial.
    O objetivo concreto: calcular \ddot{x}(t), substituir na equação m\ddot{x}+kx e mostrar que a soma é identicamente zero para \omega dado.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a equação que queremos satisfazer:
m\ddot{x}(t)+k x(t)=0.
Aqui \ddot{x}(t) é a segunda derivada temporal de x(t), ou seja a aceleração. A ideia é calcular as derivadas de x(t) e substituir nesta expressão.

Passo 3

Derivada primeira: use a regra da cadeia. A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. No nosso caso u(t)=\omega t+\Phi e u'(t)=\omega. Assim,
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[x_{m}\sin(\omega t+\Phi)\bigr] = x_{m}\cos(\omega t+\Phi)\cdot \omega.
Portanto
\dot{x}(t)=\omega x_{m}\cos(\omega t+\Phi).

Passo 4

Derivada segunda: derive \dot{x}(t) novamente. Novamente aplicamos a regra da cadeia à função \cos(\omega t+\Phi); a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Assim,
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[\omega x_{m}\cos(\omega t+\Phi)\bigr] = \omega x_{m}\bigl(-\sin(\omega t+\Phi)\bigr)\cdot \omega.
Reorganizando,
\ddot{x}(t)=-\omega^{2} x_{m}\sin(\omega t+\Phi).

Passo 5

Note que \sin(\omega t+\Phi) é exatamente x(t)/x_{m}. Portanto podemos escrever a segunda derivada em termos de x(t):
\ddot{x}(t)=-\omega^{2} x(t).
Isto é uma simplificação muito útil: a aceleração é proporcional e contrária ao deslocamento, com constante \omega^{2}.

Passo 6

Substituindo \ddot{x}(t)=-\omega^{2}x(t) na equação m\ddot{x}+kx obtemos
m\ddot{x}(t)+k x(t)=m\bigl(-\omega^{2}x(t)\bigr)+k x(t) =\bigl(-m\omega^{2}+k\bigr)\,x(t).
Para que isto seja zero para todo t (isto é, para toda função x(t) da forma dada), devemos ter o fator entre parênteses nulo.

Passo 7

Usando a relação fornecida \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, obtemos \omega^{2}=\dfrac{k}{m}. Multiplicando ambos os lados por m m\omega^{2}=k. Substituindo esse resultado no fator acima:
-m\omega^{2}+k = -k + k = 0.
Logo a combinação é zero e, portanto,
m\ddot{x}(t)+k x(t)=0
para todo t. Concluímos que a função dada satisfaz exatamente a equação do oscilador harmônico simples.

Passo 8

Interpretação e como usar na prova (dicas práticas):
  • x_{m} é a amplitude máxima; \Phi é a fase inicial que ajusta onde a oscilação começa no tempo t=0.
  • Se forem dadas condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, pode-se determinar x_{m} e \Phi assim:
x(0)=x_{m}\sin\Phi = x_{0},\qquad \dot{x}(0)=\omega x_{m}\cos\Phi = v_{0}.
Dessas duas equações segue
x_{m}=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\dfrac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}, \qquad \Phi=\operatorname{atan2}\!\left(x_{0},\dfrac{v_{0}}{\omega}\right),
onde \operatorname{atan2} é a versão do arco-tangente que garante o quadrante correto da fase (na prova pode usar \Phi=\arctan\!\bigl(\dfrac{\omega x_{0}}{v_{0}}\bigr) com cuidado de sinais e casos especiais).
  • Alternativa frequentemente usada: escrever a solução na forma
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)
e então transformar para a forma de amplitude-fase quando convier.

Resposta

x(t)=x_{m}\sin(\omega t+\Phi) é solução da equação m\ddot{x}+kx=0 desde que \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Exercícios relacionados