Para um oscilador harmônico simples (OHS) o deslocamento \boldsymbol{x} como função do tempo \boldsymbol{t} é dada por:
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos (10,0 t)
Em unidades de medida do Sistema Internacional. A massa da partícula é 0,100 \mathrm{~kg}. Determinar:
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento de um oscilador harmônico simples e pede várias quantidades. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • A equação do deslocamento é x(t)=\left(5,00\times10^{-2}\right)\cos\!\bigl(10,0\,t\bigr).
  • A massa da partícula é \,m=0,100\\ \mathrm{kg}.
Perguntas (todas pedidas no enunciado):
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica (constante da mola k);
G) função horária da velocidade v(t);
H) função horária da aceleração a(t);
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para x(t), v(t) e a(t), com o eixo horizontal mostrando duas escalas: múltiplos/submúltiplos do período e ângulo de fase da oscilação.
A partir daqui começo a resolver passo a passo e a explicar cada fórmula que uso.

Passo 2

Identificar a forma padrão do oscilador harmônico simples e extrair os parâmetros.
Forma padrão conhecida (essa é a fórmula que costuma cair na prova; vou explicar cada símbolo):
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s);
  • \varphi é a constante de fase (fase inicial, em radianos);
  • t é o tempo (em segundos).
Comparando com o enunciado \,x(t)=\bigl(5,00\times10^{-2}\bigr)\cos\!\bigl(10,0\,t\bigr), leio diretamente:
  • A = 5,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • \omega = 10,0\\ \mathrm{rad/s}.
  • Não aparece soma dentro do cosseno, ou seja \varphi = 0\\ \mathrm{rad} (fase inicial nula).
Explicação didática curta: se houvesse algo como \cos(10,0\,t+0,5) então \varphi seria 0,5. Aqui não há, então \varphi=0.

Passo 3

Calcular a frequência f e o período T. Explico as relações e depois calculo.
Relações essenciais:
f=\dfrac{\omega}{2\pi},\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Aqui \omega é a frequência angular (rad/s), f é a frequência absoluta em hertz ( \mathrm{Hz}), e T é o período em segundos.
Substituindo \omega=10,0\\ \mathrm{rad/s}:
  • Frequência:
f=\dfrac{10,0}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx1,5915\\ \mathrm{Hz}.
(é útil guardar a forma exata f=5/\pi e também um valor aproximado para cálculos rápidos).
  • Período:
T=\dfrac{2\pi}{10,0}=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx0,6283\\ \mathrm{s}.
Dica prática para prova: sempre memorize T=\dfrac{2\pi}{\omega} e f=\dfrac{\omega}{2\pi} — com \omega conhecido dá para achar T e f sem esforço.

Passo 4

Calcular a constante elástica k da mola (constante da força restauradora).
Relação entre \omega, k e m para o oscilador massa-mola (caso clássico):
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\qquad\Longrightarrow\qquad k=m\omega^{2}.
Aqui k tem unidades \mathrm{N/m}, m é massa em kg e \omega em rad/s.
Substituindo m=0,100\\ \mathrm{kg} e \omega=10,0\\ \mathrm{rad/s}:
k = 0,100\times(10,0)^{2}=0,100\times100=10,0\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação: com essa massa e essa frequência angular, a mola precisa ter constante 10\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Derivar a função velocidade v(t) a partir de x(t) — explico a regra usada e faço a conta passo a passo.
Regra de diferenciação que uso: \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t+\varphi) = -\omega\sin(\omega t+\varphi). Aqui \omega e \varphi são constantes ao derivar em relação a t.
Aplicando a derivação a x(t)=A\cos(\omega t+\varphi):
v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Agora substituo A=5,00\times10^{-2}, \omega=10,0 e \varphi=0:
v(t)=-\bigl(5,00\times10^{-2}\bigr)\cdot10,0\cdot\sin(10,0\,t)=-0,50\sin(10,0\,t)\\ \mathrm{m/s}.
Observação: o sinal negativo indica que onde x tem derivada negativa a velocidade é negativa — nada mais que a relação entre coseno e seno.

Passo 6

Derivar a função aceleração a(t) (segunda derivada de x ou derivada de v).
Posso usar a regra: \dfrac{d}{dt}\bigl(-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\bigr)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Portanto:
a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo valores numéricos:
a(t)=-\bigl(5,00\times10^{-2}\bigr)\cdot(10,0)^{2}\cos(10,0\,t)=-5,0\cos(10,0\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Também existe a relação compacta conhecida: a(t)=-\omega^{2}x(t). Se quiser checar, multiplique x(t) por -\omega^{2} e obtém a(t).

Passo 7

Calcular os valores máximos (amplitudes) da velocidade e da aceleração.
Teoria rápida: para v(t)=-A\omega\sin(\cdot), o máximo absoluto ocorre quando |\sin| vale 1. Assim:
v_{\max}=A\omega,
e para a(t)=-A\omega^{2}\cos(\cdot), o máximo absoluto é
a_{\max}=A\omega^{2}.
Substituindo os números:
  • v_{\max}=A\omega=\bigl(5,00\times10^{-2}\bigr)\times10,0=0,50\\ \mathrm{m/s}.
  • a_{\max}=A\omega^{2}=\bigl(5,00\times10^{-2}\bigr)\times(10,0)^{2}=5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicação intuitiva: a velocidade máxima cresce com \omega e com A; a aceleração máxima cresce com \omega^{2}.

Passo 8

Tabela de valores em instantes característicos (útil para esboçar os gráficos e para a prova). Vou apresentar t em frações do período T, o ângulo de fase \theta=\omega t em radianos, e os valores de x, v, a calculados exatamente usando trigonometria básica.
Lembrete: \theta=\omega t. Com \omega=10,0 e T=\pi/5, os pontos óbvios são t=0,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4,\\ T,\\\ 5T/4,\\\ 3T/2,\\\ 7T/4,\\\ 2T. Para esses pontos \theta será 0,\\ \pi/2,\\ \pi,\\\ 3\pi/2,\\\ 2\pi,\\ \ldots.
Calculemos (usar trigonometria exata: \cos0=1,\\ \sin0=0,\\ \cos\pi/2=0,\\ \sin\pi/2=1,\\ \cos\pi=-1, etc.):
  • Em t=0: \theta=0. x(0)=A\cos0=A=5,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
v(0)=-A\omega\sin0=0,
a(0)=-A\omega^{2}\cos0=-A\omega^{2}=-5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Em t=T/4 (isto é \theta=\pi/2): x=\;A\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0,
v=-A\omega\sin\!\tfrac{\pi}{2}=-A\omega=-0,50\\ \mathrm{m/s},
a=-A\omega^{2}\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0.
  • Em t=T/2 ( \theta=\pi): x=A\cos\pi=-A=-5,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
v=-A\omega\sin\pi=0,
a=-A\omega^{2}\cos\pi=+A\omega^{2}=+5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Em t=3T/4 ( \theta=3\pi/2):
    x=0,\qquad v=-A\omega\sin\!\tfrac{3\pi}{2}=+A\omega=+0,50\\ \mathrm{m/s},\qquad a=0.
  • Em t=T ( \theta=2\pi):
    x=A,\qquad v=0,\qquad a=-A\omega^{2}=-5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Esses valores já permitem traçar os gráficos precisamente.

Passo 9

Esboços (gráficos) de x(t), v(t) e a(t) no intervalo 0\le t\le2T. Vou apresentar dois tipos de auxílio: (1) uma descrição numérica com marcações em frações de T e seus ângulos de fase; (2) esboço ASCII simples para cada função, com o eixo horizontal mostrando duas escalas: em baixo a escala em frações do período T e logo abaixo (ou acima) a escala do ângulo de fase \theta=\omega t em radianos.
Escala de referência (valores numéricos usados):
T=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx0,6283\\ \mathrm{s},\qquad \omega=10,0\\ \mathrm{rad/s}.
Pontos marcantes (em segundos e em fase):
\begin{array}{lcl} t=0 &\Rightarrow& \theta=0,\\\ t=\tfrac{T}{4} &\Rightarrow& \theta=\tfrac{\pi}{2},\\\ t=\tfrac{T}{2} &\Rightarrow& \theta=\pi,\\\ t=\tfrac{3T}{4} &\Rightarrow& \theta=\tfrac{3\pi}{2},\\\ t=T &\Rightarrow& \theta=2\pi,\\\ t=\tfrac{5T}{4} &\Rightarrow& \theta=\tfrac{5\pi}{2},\\\ t=\tfrac{3T}{2} &\Rightarrow& \theta=3\pi,\\\ t=\tfrac{7T}{4} &\Rightarrow& \theta=\tfrac{7\pi}{2},\\\ t=2T &\Rightarrow& \theta=4\pi. \end{array}
Tabela resumida (já calculada no Passo 8):
  • x(t): A\cos\theta com A=0,05.
  • v(t): -0,50\sin\theta.
  • a(t): -5,0\cos\theta.
Agora os esboços ASCII (escala qualitativa, eixo vertical proporcional às amplitudes máximas; cada linha é um corte do sinal). Cada coluna corresponde a um dos 9 pontos listados (0, T/4, T/2, …, 2T). Lembrete: é apenas um esboço para entender a forma; em prova desenha-se uma senoide/cossenoide suave passando por esses pontos.
Eixo horizontal legenda (colunas numeradas):
0 1 2 3 4 5 6 7 8
correspondem a t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4, 3T/2, 7T/4, 2T
x(t) (escala vertical em metros, amplitude ±0,05):
+0,05 | * * * *
0,00 | * * * * * *
-0,05 | * * *
Um esboço mais legível (cada ‘*’ aprox um ponto):
t: 0 T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T
x: + 0 - 0 + 0 - 0 +
v(t) (escala vertical em m/s, amplitude ±0,50):
v: 0 -0,5 0 +0,5 0 -0,5 0 +0,5 0
a(t) (escala vertical em m/s², amplitude ±5,0):
a: -5 0 +5 0 -5 0 +5 0 -5
Legendas finais para o eixo horizontal (duas escalas):
  • Escala dos múltiplos/submúltiplos do período T: 0, \tfrac{T}{4}, \tfrac{T}{2}, \tfrac{3T}{4}, T, \ldots, 2T.
  • Escala do ângulo de fase \theta=\omega t: 0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi,\\ \ldots,\\\ 4\pi.
Se for necessário, na prova desenhe três curvas (cosseno para x, seno para v com amplitude 0,50 e cosseno invertido para a com amplitude 5,0) e marque os pontos do item anterior. Isso é suficiente para uma correção visual.

Passo 10

Dicas finais e checagens rápidas para a prova (pequeno resumo prático de verificação):
  • Verifique se v_{\max}=A\omega e a_{\max}=A\omega^{2} batem numericamente com as suas derivadas em pontos singulares (faça isso mentalmente com os valores simples aqui).
  • Use sempre as formas exatas quando possível: f=\dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz} e T=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s} — isso evita erros de arredondamento.
  • Para desenhar, marque os pontos a cada \tfrac{T}{4} e ligue suavemente com a forma de seno/cosseno.

Resposta

A) A=5,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=0,050\\ \mathrm{m}
B) \omega=10,0\\ \mathrm{rad/s}
C) \varphi=0\\ \mathrm{rad}
D) f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx1,5915\\ \mathrm{Hz}
E) T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{s}\approx0,6283\\ \mathrm{s}
F) k=m\omega^{2}=0,100\times(10,0)^{2}=10,0\\ \mathrm{N/m}
G) v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)=-0,50\sin(10,0\,t)\\ \mathrm{m/s}
H) a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-5,0\cos(10,0\,t)\\ \mathrm{m/s^{2}}
I) v_{\max}=A\omega=0,50\\ \mathrm{m/s} \quad e \quad a_{\max}=A\omega^{2}=5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
J) Gráficos: esboços apresentados no Passo 9 (eixo horizontal com marcas em 0,\tfrac{T}{4},\tfrac{T}{2},\tfrac{3T}{4},T,\ldots,2T e correspondentes fases \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi,\ldots,4\pi).

Exercícios relacionados