Para um oscilador harmônico simples (OHS) o deslocamento
como função do tempo
é dada por:
Em unidades de medida do Sistema Internacional. A massa da partícula é
. Determinar:
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
A) a amplitude da oscilação;
B) a frequência angular;
C) a constante de fase (ou fase inicial);
D) a frequência;
E) o período;
F) a constante elástica;
G) a função horária da velocidade;
H) a função horária da aceleração;
I) os valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para o deslocamento, para a velocidade e para a aceleração, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
Passo 1
O enunciado dá a lei do deslocamento de um oscilador harmônico simples e pede várias quantidades. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- A equação do deslocamento é
- A massa da partícula é
Perguntas (todas pedidas no enunciado):
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica (constante da mola );
G) função horária da velocidade ;
H) função horária da aceleração ;
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para ,
e
, com o eixo horizontal mostrando duas escalas: múltiplos/submúltiplos do período e ângulo de fase da oscilação.
A) amplitude da oscilação;
B) frequência angular;
C) constante de fase (fase inicial);
D) frequência;
E) período;
F) constante elástica (constante da mola
G) função horária da velocidade
H) função horária da aceleração
I) valores máximos da velocidade e da aceleração;
J) gráficos em função do tempo para
A partir daqui começo a resolver passo a passo e a explicar cada fórmula que uso.
Passo 2
Identificar a forma padrão do oscilador harmônico simples e extrair os parâmetros.
Forma padrão conhecida (essa é a fórmula que costuma cair na prova; vou explicar cada símbolo):
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em metros); -
é a frequência angular (em rad/s); -
é a constante de fase (fase inicial, em radianos); -
é o tempo (em segundos).
Comparando com o enunciado
, leio diretamente:
-
. -
. - Não aparece soma dentro do cosseno, ou seja
(fase inicial nula).
Explicação didática curta: se houvesse algo como
então
seria
. Aqui não há, então
.
Passo 3
Calcular a frequência
e o período
. Explico as relações e depois calculo.
Relações essenciais:
Aqui
é a frequência angular (rad/s),
é a frequência absoluta em hertz (
), e
é o período em segundos.
Substituindo
:
- Frequência:
(é útil guardar a forma exata
e também um valor aproximado para cálculos rápidos).
- Período:
Dica prática para prova: sempre memorize
e
— com
conhecido dá para achar
e
sem esforço.
Passo 4
Calcular a constante elástica
da mola (constante da força restauradora).
Relação entre
,
e
para o oscilador massa-mola (caso clássico):
Aqui
tem unidades
,
é massa em kg e
em rad/s.
Substituindo
e
:
Interpretação: com essa massa e essa frequência angular, a mola precisa ter constante
.
Passo 5
Derivar a função velocidade
a partir de
— explico a regra usada e faço a conta passo a passo.
Regra de diferenciação que uso:
. Aqui
e
são constantes ao derivar em relação a
.
Aplicando a derivação a
:
Agora substituo
,
e
:
Observação: o sinal negativo indica que onde
tem derivada negativa a velocidade é negativa — nada mais que a relação entre coseno e seno.
Passo 6
Derivar a função aceleração
(segunda derivada de
ou derivada de
).
Posso usar a regra:
.
Portanto:
Substituindo valores numéricos:
Também existe a relação compacta conhecida:
. Se quiser checar, multiplique
por
e obtém
.
Passo 7
Calcular os valores máximos (amplitudes) da velocidade e da aceleração.
Teoria rápida: para
, o máximo absoluto ocorre quando
vale
. Assim:
e para
, o máximo absoluto é
Substituindo os números:
Explicação intuitiva: a velocidade máxima cresce com
e com
; a aceleração máxima cresce com
.
Passo 8
Tabela de valores em instantes característicos (útil para esboçar os gráficos e para a prova). Vou apresentar
em frações do período
, o ângulo de fase
em radianos, e os valores de
,
,
calculados exatamente usando trigonometria básica.
Lembrete:
. Com
e
, os pontos óbvios são
. Para esses pontos
será
.
Calculemos (usar trigonometria exata:
, etc.):
- Em
: .
- Em
(isto é ):
- Em
( ):
-
Em
( ): -
Em
( ):
Esses valores já permitem traçar os gráficos precisamente.
Passo 9
Esboços (gráficos) de
,
e
no intervalo
. Vou apresentar dois tipos de auxílio: (1) uma descrição numérica com marcações em frações de
e seus ângulos de fase; (2) esboço ASCII simples para cada função, com o eixo horizontal mostrando duas escalas: em baixo a escala em frações do período
e logo abaixo (ou acima) a escala do ângulo de fase
em radianos.
Escala de referência (valores numéricos usados):
Pontos marcantes (em segundos e em fase):
Tabela resumida (já calculada no Passo 8):
-
: com . -
: . -
: .
Agora os esboços ASCII (escala qualitativa, eixo vertical proporcional às amplitudes máximas; cada linha é um corte do sinal). Cada coluna corresponde a um dos 9 pontos listados (0, T/4, T/2, …, 2T). Lembrete: é apenas um esboço para entender a forma; em prova desenha-se uma senoide/cossenoide suave passando por esses pontos.
Eixo horizontal legenda (colunas numeradas):
0 1 2 3 4 5 6 7 8
correspondem a t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4, 3T/2, 7T/4, 2T
0 1 2 3 4 5 6 7 8
correspondem a t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, 5T/4, 3T/2, 7T/4, 2T
x(t) (escala vertical em metros, amplitude ±0,05):
+0,05 | * * * *
0,00 | * * * * * *
-0,05 | * * *
+0,05 | * * * *
0,00 | * * * * * *
-0,05 | * * *
Um esboço mais legível (cada ‘*’ aprox um ponto):
t: 0 T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T
x: + 0 - 0 + 0 - 0 +
t: 0 T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T
x: + 0 - 0 + 0 - 0 +
v(t) (escala vertical em m/s, amplitude ±0,50):
v: 0 -0,5 0 +0,5 0 -0,5 0 +0,5 0
v: 0 -0,5 0 +0,5 0 -0,5 0 +0,5 0
a(t) (escala vertical em m/s², amplitude ±5,0):
a: -5 0 +5 0 -5 0 +5 0 -5
a: -5 0 +5 0 -5 0 +5 0 -5
Legendas finais para o eixo horizontal (duas escalas):
- Escala dos múltiplos/submúltiplos do período
: 0, , , , , , . - Escala do ângulo de fase
: .
Se for necessário, na prova desenhe três curvas (cosseno para
, seno para
com amplitude
e cosseno invertido para
com amplitude
) e marque os pontos do item anterior. Isso é suficiente para uma correção visual.
Passo 10
Dicas finais e checagens rápidas para a prova (pequeno resumo prático de verificação):
- Verifique se
e batem numericamente com as suas derivadas em pontos singulares (faça isso mentalmente com os valores simples aqui). - Use sempre as formas exatas quando possível:
e — isso evita erros de arredondamento. - Para desenhar, marque os pontos a cada
e ligue suavemente com a forma de seno/cosseno.
Resposta
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I) \quad e \quad
J) Gráficos: esboços apresentados no Passo 9 (eixo horizontal com marcas em e correspondentes fases
).
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J) Gráficos: esboços apresentados no Passo 9 (eixo horizontal com marcas em