Mostrar que
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede para mostrar que a desigualdade
é verdadeira se, e somente se, . - Informações relevantes que usaremos:
- Definição de módulo:
para todo , e . - Identidade algébrica:
.
- Definição de módulo:
Passo 2
Direção 1: partir de
e chegar em
.
- Como
e são números não negativos, ao elevar ao quadrado a desigualdade preserva-se a ordem. Ou seja, de segue
- Usando
para , obtemos
- Subtraindo
dos dois lados dá
- Finalmente, usando a identidade algébrica, temos
que é exatamente o que queríamos provar nessa direção.
Passo 3
Direção 2: partir de
e chegar em
.
- Começamos assumindo
. Pela identidade algébrica isso é
ou seja
- Como
e são quadrados (portanto não negativos), podemos tirar raiz quadrada dos dois lados preservando a desigualdade. Usando , segue
- Assim obtemos a desigualdade desejada na segunda direção.
Passo 4
Observação alternativa e interpretação intuitiva (útil para a prova).
- Reescrevendo
em termos dos módulos:
- Note que
. Logo o sinal de é o mesmo do sinal de . Portanto
ou seja,
é equivalente a
. Isso dá a equivalência de forma direta e muito usada em provas rápidas.
Passo 5
Comentário didático (cuidados que valem na prova).
- Não se pode, em geral, afirmar que
implica para quaisquer reais (porque, por exemplo, e , mas ). O truque aqui é trabalhar com e , que são não negativos; sobre não negativos a função é estritamente crescente, então quando . - Em provas rápidas: lembrar que
e é uma sequência segura.