Mostrar que
|a| \geq|b| \Longleftrightarrow(a+b)(a-b) \geq 0

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede para mostrar que a desigualdade \,|a|\ge|b|\, é verdadeira se, e somente se, (a+b)(a-b)\ge0.
  • Informações relevantes que usaremos:
    • Definição de módulo: |x|\ge0 para todo x, e |x|^2 = x^2.
    • Identidade algébrica: (a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Passo 2

Direção 1: partir de |a|\ge|b| e chegar em (a+b)(a-b)\ge0.
  • Como |a| e |b| são números não negativos, ao elevar ao quadrado a desigualdade preserva-se a ordem. Ou seja, de |a|\ge|b| segue
|a|^2 \ge |b|^2.
  • Usando |x|^2=x^2 para x=a,b, obtemos
a^2 \ge b^2.
  • Subtraindo b^2 dos dois lados dá
a^2-b^2 \ge 0.
  • Finalmente, usando a identidade algébrica, temos
(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \ge 0,
que é exatamente o que queríamos provar nessa direção.

Passo 3

Direção 2: partir de (a+b)(a-b)\ge0 e chegar em |a|\ge|b|.
  • Começamos assumindo (a+b)(a-b)\ge0. Pela identidade algébrica isso é
a^2-b^2 \ge 0,
ou seja
a^2 \ge b^2.
  • Como a^2 e b^2 são quadrados (portanto não negativos), podemos tirar raiz quadrada dos dois lados preservando a desigualdade. Usando |x|=\sqrt{x^2}, segue
|a| \ge |b|.
  • Assim obtemos a desigualdade desejada na segunda direção.

Passo 4

Observação alternativa e interpretação intuitiva (útil para a prova).
  • Reescrevendo a^2-b^2 em termos dos módulos:
a^2-b^2=|a|^2-|b|^2=(|a|-|b|)(|a|+|b|).
  • Note que |a|+|b|\ge0. Logo o sinal de a^2-b^2 é o mesmo do sinal de |a|-|b|. Portanto
a^2-b^2\ge0 \Longleftrightarrow |a|-|b|\ge0,
ou seja, a^2-b^2\ge0 é equivalente a |a|\ge|b|. Isso dá a equivalência de forma direta e muito usada em provas rápidas.

Passo 5

Comentário didático (cuidados que valem na prova).
  • Não se pode, em geral, afirmar que x^2\ge y^2 implica x\ge y para quaisquer x,y reais (porque, por exemplo, (-3)^2=9 e 2^2=4, mas -3<2). O truque aqui é trabalhar com |a| e |b|, que são não negativos; sobre não negativos a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente, então t_1^2\ge t_2^2 \iff t_1\ge t_2 quando t_1,t_2\ge0.
  • Em provas rápidas: lembrar que (a+b)(a-b)=a^2-b^2 e a^2-b^2\ge0\iff a^2\ge b^2\iff |a|\ge|b| é uma sequência segura.

Resposta

|a|\ge|b|\Longleftrightarrow (a+b)(a-b)\ge0

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