Exercício 29. Calcule
\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{\cos \theta} \operatorname{sen} \theta \mathrm{~d} \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\cos\theta}\,\operatorname{sen}\theta\,\mathrm{d}\theta.
Informações fornecidas:
  • O integrando é \sqrt{\cos\theta}\,\operatorname{sen}\theta.
  • O intervalo de integração é de \theta=0 até \theta=\pi/2.
    A pergunta é somente o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Identificar uma troca de variável útil. Aqui é conveniente notar que aparece \cos\theta dentro da raiz e \operatorname{sen}\theta\,\mathrm{d}\theta multiplicando. Isso sugere tentar uma substituição do tipo
u=\cos\theta.
Agora calculemos \mathrm{d}u em função de \mathrm{d}\theta. Usando a regra da derivada,
\mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}(\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta = -\sin\theta\,\mathrm{d}\theta.
Portanto podemos escrever
\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = -\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Troca dos limites de integração: quando \theta=0 temos
u=\cos 0 = 1,
e quando \theta=\pi/2 temos
u=\cos(\pi/2)=0.
Substituindo na integral original (substituindo \sqrt{\cos\theta}=\sqrt{u}=u^{1/2} e \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=-\mathrm{d}u), obtemos
\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\cos\theta}\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} u^{1/2}\,(-\mathrm{d}u) = \int_{u=1}^{u=0} -\,u^{1/2}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Trocar a ordem dos limites para eliminar o sinal negativo: inverter os limites muda o sinal da integral, então
\int_{u=1}^{u=0} -\,u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \int_{u=0}^{u=1} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.
Agora a integral ficou numa forma simples: \int_{0}^{1} u^{1/2}\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Aplicar a regra do integral de potência. A fórmula é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então o antiderivado é
\int u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Agora avaliamos de 0 a 1:
\left.\frac{2}{3}\,u^{3/2}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}\bigl(1^{3/2} - 0^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(1-0\bigr)=\frac{2}{3}.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: o integrando \sqrt{\cos\theta}\,\sin\theta é não negativo em [0,\pi/2], logo o resultado positivo faz sentido. Também \sqrt{\cos\theta}\le 1, então a integral é menor que \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=1; nosso valor \tfrac{2}{3} satisfaz essa estimativa.

Passo 7

Dica para a prova: quando vir uma raiz (ou qualquer função composta) f(g(x)) multiplicada por algo que é proporcional a g'(x), pense imediatamente em u=g(x). Isso evita contas desnecessárias e reduz a integral a uma potência simples, como aconteceu aqui.

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados