O integrando é \sqrt{\cos\theta}\,\operatorname{sen}\theta.
O intervalo de integração é de \theta=0 até \theta=\pi/2.
A pergunta é somente o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Identificar uma troca de variável útil. Aqui é conveniente notar que aparece \cos\theta dentro da raiz e \operatorname{sen}\theta\,\mathrm{d}\theta multiplicando. Isso sugere tentar uma substituição do tipo
u=\cos\theta.
Agora calculemos \mathrm{d}u em função de \mathrm{d}\theta. Usando a regra da derivada,
Verificação rápida de plausibilidade: o integrando \sqrt{\cos\theta}\,\sin\theta é não negativo em [0,\pi/2], logo o resultado positivo faz sentido. Também \sqrt{\cos\theta}\le 1, então a integral é menor que \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=1; nosso valor \tfrac{2}{3} satisfaz essa estimativa.
Passo 7
Dica para a prova: quando vir uma raiz (ou qualquer função composta) f(g(x)) multiplicada por algo que é proporcional a g'(x), pense imediatamente em u=g(x). Isso evita contas desnecessárias e reduz a integral a uma potência simples, como aconteceu aqui.