Mostre que 1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{9}=\frac{1-x^{10}}{1-x} e calcule o valor de:
(a) S_{1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{64}
(b) S_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\frac{1}{2187}
(c) S_{3}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{64}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar a igualdade 1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{9}=\dfrac{1-x^{10}}{1-x}.
  • Calcular os valores de três somas:
    • S_{1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{64}.
    • S_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{243}+\dfrac{1}{729}+\dfrac{1}{2187}.
    • S_{3}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{64}+\ldots (soma infinita).
Informações relevantes fornecidas:
  • As somas (a) e (b) são somas geométricas finitas (cada termo é uma potencia da razão).
  • A soma (c) é uma soma geométrica infinita com razão em módulo menor que 1 (provavelmente converge).

Passo 2

Prova da fórmula da soma finita de uma progressão geométrica (caso particular usado no enunciado).
Considere a soma finita genérica com n+1 termos
S = 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}.
Multiplicando S por 1-x (supondo x\neq 1) obtemos:
(1-x)S = S - xS = (1+x+\cdots+x^{n}) - (x + x^{2} + \cdots + x^{n+1}).
Ao subtrair os dois parênteses, todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas:
(1-x)S = 1 - x^{n+1}.
Isolando S:
S = \frac{1-x^{n+1}}{1-x},\qquad \text{para } x\neq 1.
Observação: se x=1, a soma é trivialmente S=n+1 (pois cada termo vale 1).
Aplicando com n=9 (dez termos de x^{0} até x^{9}) obtemos exatamente
1+x+x^{2}+\cdots+x^{9}=\frac{1-x^{10}}{1-x},
que é o que se pedia mostrar.

Passo 3

Fórmula prática para somas geométricas (forma com primeiro termo a, razão r, e n termos):
Se os termos são a, ar, ar^{2},\ldots,ar^{n-1}, então a soma dos n termos é
S_n = a\cdot\frac{1-r^{n}}{1-r},\qquad \text{para } r\neq 1.
Explicando cada símbolo:
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão (multiplicador de um termo para o próximo).
  • n é o número de termos.
    Essa fórmula vem do mesmo raciocínio do passo anterior (multiplicando por 1-r e cancelando termos).

Passo 4

Cálculo de S_{1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{64}.
Identificação:
  • Primeiro termo a=1.
  • Razão r=\dfrac{1}{2} (cada termo é metade do anterior).
  • Último termo \dfrac{1}{64}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{6}, então os termos são de 2^{0} até 2^{6}: isto é n=7 termos.
Aplicando a fórmula com a=1, r=\tfrac{1}{2}, n=7:
S_{1} = 1\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{7}}{1-\tfrac{1}{2}}.
Calcule passo a passo:
(\tfrac{1}{2})^{7}=\tfrac{1}{128}, \qquad 1-(\tfrac{1}{2})^{7}=\tfrac{127}{128}, \qquad 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
S_{1}=\frac{\tfrac{127}{128}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{127}{128}\cdot 2=\tfrac{127}{64}.

Passo 5

Cálculo de S_{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{243}+\dfrac{1}{729}+\dfrac{1}{2187}.
Identificação:
  • Primeiro termo a=\dfrac{1}{3}.
  • Razão r=\dfrac{1}{3}.
  • Os termos são (\tfrac{1}{3})^{1},(\tfrac{1}{3})^{2},\ldots,(\tfrac{1}{3})^{7}, logo há n=7 termos.
Aplicando a fórmula com a=\tfrac{1}{3}, r=\tfrac{1}{3}, n=7:
S_{2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{3})^{7}}{1-\tfrac{1}{3}}.
Calcule passo a passo:
(\tfrac{1}{3})^{7}=\tfrac{1}{2187}, \qquad 1-(\tfrac{1}{3})^{7}=\tfrac{2186}{2187}, \qquad 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Então
S_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\tfrac{2186}{2187}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{3}\cdot \tfrac{2186}{2187}\cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2186}{2187} = \tfrac{1093}{2187}.

Passo 6

Cálculo de S_{3}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots (soma infinita).
Teoria rápida: uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r converge exatamente quando |r|<1. Nesse caso a soma é
S_{\infty}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso:
  • a=1,
  • r=\tfrac{1}{2},
  • e |r|=\tfrac{1}{2}<1, então converge.
Aplicando a fórmula:
S_{3}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Também pode-se ver como limite da soma finita: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{n}}{1-\tfrac{1}{2}}=2 porque (\tfrac{1}{2})^{n}\to 0.

Resposta

1+x+x^{2}+\ldots+x^{9}=\dfrac{1-x^{10}}{1-x}
S_{1}=\dfrac{127}{64}
S_{2}=\dfrac{1093}{2187}
S_{3}=2

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