Mostre que
e calcule o valor de:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar a igualdade
. - Calcular os valores de três somas:
-
. -
. -
(soma infinita).
-
Informações relevantes fornecidas:
- As somas (a) e (b) são somas geométricas finitas (cada termo é uma potencia da razão).
- A soma (c) é uma soma geométrica infinita com razão em módulo menor que 1 (provavelmente converge).
Passo 2
Prova da fórmula da soma finita de uma progressão geométrica (caso particular usado no enunciado).
Considere a soma finita genérica com
termos
Multiplicando
por
(supondo
) obtemos:
Ao subtrair os dois parênteses, todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas:
Isolando
:
Observação: se
, a soma é trivialmente
(pois cada termo vale 1).
Aplicando com
(dez termos de
até
) obtemos exatamente
que é o que se pedia mostrar.
Passo 3
Fórmula prática para somas geométricas (forma com primeiro termo
, razão
, e
termos):
Se os termos são , então a soma dos
termos é
Se os termos são
Explicando cada símbolo:
-
é o primeiro termo. -
é a razão (multiplicador de um termo para o próximo). -
é o número de termos.
Essa fórmula vem do mesmo raciocínio do passo anterior (multiplicando pore cancelando termos).
Passo 4
Cálculo de
.
Identificação:
- Primeiro termo
. - Razão
(cada termo é metade do anterior). - Último termo
, então os termos são de até : isto é termos.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Identificação:
- Primeiro termo
. - Razão
. - Os termos são
, logo há termos.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
Calcule passo a passo:
Então
Passo 6
Cálculo de
(soma infinita).
Teoria rápida: uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
converge exatamente quando
. Nesse caso a soma é
No nosso caso:
-
, -
, - e
, então converge.
Aplicando a fórmula:
Também pode-se ver como limite da soma finita:
porque
.